Hyperbolická funkcia

Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde ${\displaystyle e}$ označuje Eulerovo číslo:

• Hyperbolický sínus:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}$ ; kde ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

• Hyperbolický kosínus:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}}$ ; kde ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

• Hyperbolický tangens:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$ ; kde ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

• Hyperbolický kotangens:

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}$ ; kde ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )/\{0\}}$

• Hyperbolické funkcie sú spojité na svojich definičných oboroch.

• Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:

${\displaystyle {\cosh }^{2}{x}-{\sinh }^{2}{x}=1}$ pre všetky ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

• Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:

${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cdot \cosh y+\sinh x\cdot \sinh y}$ pre všetky ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cdot \cosh y+\cosh x\cdot \sinh y}$ pre všetky ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \cosh(2x)={\cosh }^{2}{x}+{\sinh }^{2}{x}}$

${\displaystyle \sinh(2x)=2\cosh x\cdot \sinh x}$

Pre základné derivácie hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

Pre základné integrály hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

${\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C}$

${\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C}$

${\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}$

kde ${\displaystyle C}$ je integračná konštatnta.

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Hyperbolická funkcia

• NEUBRUNN, Tibor; VENCKO, Jozef. Matematická analýza I. [s.l.] : Matematicko-fyzikálna fakulta UK, Vysokoškolské skriptá, 1992. Dostupné online.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hyperbolické funkce na českej Wikipédii.