Cyklometrická funkcia

Medzi cyklometrické funkcie patria:

• Arkus sínus (${\displaystyle \arcsin }$)
• Arkus kosínus (${\displaystyle \arccos }$)
• Arkus tangens (${\displaystyle \operatorname {arctg} }$)
• Arkus kotangens (${\displaystyle \operatorname {arccotg} }$)

Aby mohla k ľubovoľnej funkcii existovať inverzná funkcia, daná funkcia musí byť prostá, to znamená: rôznym dvom prvkom musí priraďovať dve rôzne hodnoty. Goniometrické funkcie sú ale periodické, a teda nie sú prosté. Preto ak chceme uvažovať o cyklometrických funkciách musíme najskôr ošetriť ich definičný obor a taktiež aj definičné obory goniometrických funkcií – to znamená, že musíme vybrať len tú podmnožinu definičného oboru danej goniometrickej funkcie, na ktorej je prostá.

Definičné obory cyklometrických a goniometrických funkcií

Goniometrické funkcie	Cyklometrické funkcie
Sínus: ${\displaystyle \sin(x)}$ pre ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$	Arkus sínus: ${\displaystyle \arcsin(x)}$ pre ${\displaystyle x\in <-1;1>}$
Cosínus: ${\displaystyle \cos(x)}$ pre ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$	Arkus cosínus: ${\displaystyle \arccos(x)}$ pre ${\displaystyle x\in <-1;1>}$
Tangens: ${\displaystyle \operatorname {tg} (x)}$ pre ${\displaystyle x\in \mathbb {R} -\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \};k\in \mathbb {Z} }$	Arkus tangens: ${\displaystyle \operatorname {arctg} (x)}$ pre ${\displaystyle x\in R}$
Cotangens: ${\displaystyle \operatorname {ctg} (x)}$ pre ${\displaystyle x\in \mathbb {R} -\{k\pi \};k\in \mathbb {Z} }$	Arkus cotangens: ${\displaystyle \operatorname {arcctg} (x)}$ pre ${\displaystyle x\in R}$

${\displaystyle \arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\operatorname {arccotg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} x}$

${\displaystyle \operatorname {arccotg} x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} x}$

Pre ${\displaystyle x>0}$ platí

${\displaystyle \operatorname {arccotg} x=\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}}$

Pre ${\displaystyle x<0}$ platí

${\displaystyle \operatorname {arccotg} x=\pi +\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}$

${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arccotg} (-x)=\pi -\operatorname {arccotg} x\!}$

Cyklometrické funkcie sa dajú tiež vyjadriť použitím logaritmov a komplexných čísel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=-i\,\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)&{}\\\arccos x&{}=-i\,\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\log \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&{}\\\operatorname {arctg} x&{}={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-i\,x\right)-\log \left(1+i\,x\right)\right)=\operatorname {arccotg} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arccotg} x&{}={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)=\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}}$

• Goniometrické funkcie

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I., Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
• Bartch, Hans-Jochen: Matematické vzorce, SNTL, Praha 1987, 2. revidované vydání