Spojitá funkcia

Hovoríme, že funkcia ${\displaystyle f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ je spojitá v bode ${\displaystyle a}$, ak platí

${\displaystyle \forall O(f(a))\exists O(a)\forall x\in O(a)\cap D(f):f(x)\in O(f(a))}$

Ekvivalentná definícia znie, že funkcia ${\displaystyle f}$ je v bode ${\displaystyle a}$ spojitá ak pre každé kladné ${\displaystyle \varepsilon }$ existuje kladné ${\displaystyle \delta }$, že pre všetky ${\displaystyle x}$ z definičného oboru funkcie ${\displaystyle f}$, pre ktoré ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ platí, že ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$

Pojem spojitosti možno zaviesť aj pre funkcie ktorých definičný obor a obor hodnôt sú odlišné od reálnych čísel. Vyžaduje sa pri tom len dodatočná štruktúra, ktorá umožňuje hovoriť o nejakej blízkosti resp. vzdialenosti bodov. Pojem spojitosti sa priamočiaro zovšeobecňuje na funkcie zobrazujúce metrický priestor do metrického priestoru. Ak ${\displaystyle (X,d_{X}),(Y,d_{Y})}$ sú metrické priestory a ${\displaystyle f:\ X\to Y}$ tak hovoríme, že ${\displaystyle f}$ je spojitá v bode ${\displaystyle a\in X}$, ak je pravda ${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ d_{X}(x,a)<\delta \ \Rightarrow \ d_{Y}(f(a),f(x))<\epsilon }$.

Ešte všeobecnejšie hovoríme o spojitosti pre zobrazenie topologických priestorov.

Pomocou pojmu limita možno spojitosť funkcie definovať takto. Funkcia ${\displaystyle f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ je spojitá v bode ${\displaystyle a}$ práve vtedy keď

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a).}$

A obdobne v každom metrickom priestore.

• Ak je funkcia ${\displaystyle f:\ [a,b]\to \mathbb {R} }$ spojitá (${\displaystyle [a,b]}$ je uzavretý interval) a číslo ${\displaystyle r}$ leží medzi hodnotami ${\displaystyle f(a),\ f(b)}$, tak existuje číslo ${\displaystyle c:\ c\in [a,b]}$ také, že ${\displaystyle r=f(c)}$. Toto tvrdenie má široké uplatnenie v numerických metódach riešenia rovníc. Napríklad funkcia ${\displaystyle f(x)=e^{x}+2x^{3}}$ má hodnoty ${\displaystyle f(0)=1,\ f(-1)=1/e-2<0}$. Takže vieme, že niekde v intervale ${\displaystyle (-1,0)}$ existuje číslo ${\displaystyle c}$ také, že ${\displaystyle e^{c}+2c^{3}=0}$ .

• Spojitá funkcia ${\displaystyle f:\ [a,b]\to \mathbb {R} }$ je ohraničená a nadobúda maximálnu a minimálnu hodnotu. V tomto tvrdení nemožno uzavretý interval nahradiť (polo)otvoreným. Napríklad funkcia ${\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto x}$ je spojitá, je aj ohraničená, ale nenadobúda minimum ani maximum. A zase funkcia ${\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto 1/x}$ je spojitá ale nie je ani ohraničená.

Nech funkcie ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle g}$ sú spojité funkcie (zľava, resp. zprava spojité) v bode ${\displaystyle a}$. Ak v každom okolí (resp. v ľavom, pravom okolí) bodu ${\displaystyle a}$ existuje bod ${\displaystyle x\neq a}$ taký, že ${\displaystyle f(x)=g(x)}$, potom ${\displaystyle f(a)=g(a)}$

Ak funkcia ${\displaystyle f}$ je spojitá na ${\displaystyle [a,b]}$ potom ${\displaystyle f}$ je ohraničená na ${\displaystyle [a,b]}$.

Ak funkcia je spojitá na ${\displaystyle [a,b]}$ potom ${\displaystyle \exists c_{1},c_{2}\in [a,b]}$ také, že ${\displaystyle f(c_{1})\leq f(x)\leq f(c_{2})}$, pre ${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$

Ak funkcia nie je v niektorom bode svojho definičného oboru spojitá, tak hovoríme, že je nespojitá, resp. že má v danom bode bod nespojitosti. Poznamenajme, že nanpríklad funkcia ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$ je na svojom definičnom obore spojitá funkcia v zmysle definície. Práve tento príklad ukazuje na nedokonalosť definície spojitej funkcie cez možnosť nakresliť súvisle jej graf. Príkladom nespojitej funkcie je funkcia signum - je nespojitá v bode 0. Platí pre ňu

${\displaystyle \operatorname {sgn} (0)=0,\ \lim _{x\to 0^{-}}\operatorname {sgn} (x)=-1,\ \lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {sgn} (x)=+1.}$

Iný známy príklad je takzvaná Dirichletova funkcia, ktorá priraďuje racionálnemu číslu hodnotu 1 a iracionálnemu hodnotu 0:

${\displaystyle \chi (x)=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\textrm {ak}}\quad x\in \mathbb {Q} \\0\quad {\textrm {ak}}\quad x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{array}}\right.}$

Táto funkcia je nespojitá v každom reálnom čísle.