Unitární grupa

Unitární grupa je v matematice množina všech unitárních transformací nějakého Hilbertova prostoru spolu s operací skládání. V konečněrozměrném případě se dá reprezentovat jako množina všech unitárních matic dimenze n spolu s násobením matic. Tato grupa se značí .

Podobně se definuje speciální unitární grupa SU(n) jako množina unitárních matic s determinantem rovným jedné.

Vnoření unitárních matic do prostoru všech matic definuje na unitární matici strukturu reálné hladké variety. Jedná se tedy o reálnou Lieovu grupu.

Vlastnosti

Unitární grupa je kompaktní a souvislá Lieova grupa (ačkoliv se skládá z komplexních matic, jedná se pouze o reálnou Lieovu grupu). Její dimenze je . Fundamentální grupu má izomorfní . Komplexifikace této grupy je celá obecná lineární grupa GL(n,C).

Jako grupa je U(n) izomorfní a U(1) je izomorfní jednotkovým komplexním číslům s operací násobení. Grupa SU(n) je jednoduchá pro a je také jednoduše souvislá.

Grupa je izomorfní ortogonální grupě .

Grupa je topologická sféra dimenze 3 a jako grupa je izomorfní jednotkovým kvaternionům. Existuje surjektivní homomorfizmus

takový, že každý prvek SO(3) má právě dva vzory, které se liší jenom znaménkem.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.