p-adické číslo

Předpokládejme p prvočíslo. Jakékoliv celé číslo n můžeme vyjádřit v soustavě o základu p, tedy získat „číslice“ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$ takové, že

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}p^{i}}$

Tedy například 13 je v dvojkové soustavě ${\displaystyle 1101_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$, v trojkové soustavě je ${\displaystyle 111_{3}=1\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{1}+1\cdot 3^{0}}$.

Na základě takového zápisu můžeme pomocí celých čísel definovat čísla racionální (a posléze reálná), totiž když povolíme nekonečně číslic za řádovou čárkou a tedy nekonečné součty

${\displaystyle \pm \sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}p^{i}.}$

Operace s nekonečnými součty předpokládá možnost definovat limity, jejichž definice je závislá na metrice. Můžeme pak například 1/3 zapsat v pětkové soustavě jako limitu posloupnosti ${\displaystyle 0,131313\dots _{5}}$. Naopak celým číslům v těchto vyjádřeních odpovídají právě ta čísla, která mají za řádovou čárkou jenom nuly, neboli ${\displaystyle a_{i}=0\quad \forall i<0}$

V případě p-adických čísel naopak povolíme nekonečné součty v podobě:

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$

kde k je nějaké celé číslo, které nemusí být kladné. Lze dodefinovat rovnost těchto součtů tak, že vytvoříme těleso. Podobně jako předtím lze mluvit o celých číslech — p-adická celá čísla jsou právě ta, která mají pro záporná i nulové koeficienty ${\displaystyle a_{i}}$. Podokruh p-adických celých čísel bývá značen Z_p (tedy stejně, jako bývají často značena konečná prvotělesa v modulární aritmetice, což je ovšem zcela odlišná záležitost!)

Zatímco u reálných čísel může být nekonečný jejich rozvoj doprava, „za řádovou čárkou“, u p-adických čísel může být nekonečný rozvoj doleva. Například 1/3 má v p-adické soustavě o základu 5 nekonečný rozvoj 2, 32, 132, 3132, 13132, 313132, …1313132. Vynásobením (s ohledem na povahu zápisu v řádu 5) tohoto nekonečného součinu totiž získáváme …0000001. Zajímavé také je, že toto číslo neobsahuje žádné číslice za řádovou čárkou, jedná se tedy o 5-adické celé číslo.

P-adická čísla je možné formálně zkonstruovat více způsoby. Následující postup je bližší analýze.

Reálná čísla je možné definovat jako třídy ekvivalence Cauchyovských posloupností racionálních čísel; tím je také dána možnost zapisovat 1 jako 1,0000… nebo 0,999… Definice Cauchyovských posloupností je možná jen v metrickém prostoru a je závislá na definované metrice. Změníme-li tedy definici metriky, můžeme získat analogickou konstrukcí něco jiného než obvyklá reálná čísla.

Metrika, pomocí které jsou konstruována reálná čísla, je takzvaná eukleidovská metrika, která má v jednorozměrném prostoru racionálních čísel podobu známé školské absolutní hodnoty.

Pro dané prvočíslo p budeme definovat p-adickou absolutní hodnotu na racionálních číslech takto: Pro každé nenulové racionální číslo x existuje jednoznačně dané celé číslo n, pro které můžeme zapsat

${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$,

kde ani jedno z celých čísel a a b není dělitelné p. Pokud není čitatel ani jmenovatel x dělitelný p, pak je n rovno 0. Nyní můžeme definovat p--adickou absolutní hodnotu:

${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$ a ${\displaystyle |0|_{p}=0}$

Například pro ${\displaystyle x={\frac {63}{550}}=2^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}}$ máme

${\displaystyle \displaystyle |x|_{2}=2\,\!}$

${\displaystyle \displaystyle |x|_{3}=1/9\,\!}$

${\displaystyle |x|_{5}=25\,\!}$

${\displaystyle \displaystyle |x|_{7}=1/7\,\!}$

${\displaystyle |x|_{11}=11\,\!}$

${\displaystyle |x|_{p}=1}$ pro všechna jiná prvočísla p

Podle Ostrowského věty platí, že každá zobecněná absolutní hodnota na racionálních číslech odpovídá buď eukleidovské absolutní hodnotě, triviální absolutní hodnotě, nebo padické absolutní hodnotě pro nějaké p. Tím je dáno, že z hlediska normy konstrukcí p-adických těles vyčerpáváme všechna možná další rozšíření racionálních čísel.

Na základě p-adické absolutní hodnoty lze definovat metriku

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}\,\!}$

Těleso p-adických čísel Q_p je pak možné definovat jako zúplnění metrického prostoru (Q,d_p), jeho prvky jsou třídy cauchyovských posloupností, kde dvě posloupnosti jsou ekvivalentní, právě když jejich rozdíl konverguje k nule. Tímto způsobem vznikne úplný metrický prostor, který je zároveň tělesem a obsahuje racionální čísla.

Dá se ukázat, že každý z prvků vzniklého tělesa lze jednoznačným způsobem zapsat ve tvaru

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$,

kde k je nějaké celé číslo a každé z čísel a_i je z množiny {0, …, p - 1}. Tato posloupnost konverguje v metrice d_p.

Vzniklé těleso je lokální těleso.

Okruh p-adických čísel je inverzní limitou konečných okruhů Z/p^kZ, ovšem má nespočetně prvků a má mohutnost kontinua. Stejně tak je nespočetné těleso Q_p. Okruh endomorfismů Prüferovy p-grupy hodnosti n, značený Z(p^∞)ⁿ, odpovídá maticovému okruhu matic řádu n nad p-adickými celými čísly a občas bývá nazýván Tateův modul.

Těleso p-adických čísel obsahuje čísla racionální a je charakteristiky 0. Není možné z něj vytvořit uspořádané těleso.

Definujme topologii τ na Z_p tak, že za její bázi určíme všechny množiny tvaru U_a(n) = {n + λ p^a, kde λ náleží do Z_p a a do N}. Pak Z_p je zkompaktněním Z vzhledem k odvozené topologii. Relativní topologie na Z coby podmnožině Z_p se nazývá p-adickou topologií na Z.

Na rozdíl od reálných čísel, které mají jediné vlastní algebraické rozšíření, totiž komplexní čísla, která jsou již algebraicky uzavřená, je algebraický uzávěr p-adických čísel nekonečného stupně, navíc Q_p má nekonečně mnoho navzájem neekvivaletních algebraických rozšíření. Další odlišnost je v tom, že algebraický uzávěr Q_p není úplný. Jeho metrické zúplnění se označuje C_p a je algebraicky uzavřené.

Těleso C_p je izomorfní tělesu komplexních čísel, můžeme se na něj tedy dívat jako na komplexní čísla doplněná o nezvyklou metriku. Existence zmíněného izomorfismu byla dokázaná nekonstruktivně a důkaz počítá s platností axiomu výběru; součástí důkazu tedy není nalezení příkladu řečeného izomorfismu.

Těleso p-adických čísel obsahuje n-té cyklotomické těleso tehdy a jen tehdy, když n dělí p–1. Například n-té cyklotomické těleso je podtělesem Q₁₃ tehdy a jen tehdy, když n= 1, 2, 3, 4, 6 nebo 12.

Na rozdíl od tělesa reálných čísel jsou nad p-adickými čísly nekonstantní funkce, jejichž derivací je nulová funkce, například:

f: Q_p → Q_p, f(x) = (1/|x|_p)² pro x ≠ 0, f(0) = 0,

Těleso Q_p je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor.