Číselná struktura

Přirozená čísla jsou nejjednodušší číselnou strukturou a základem konstrukce těch složitějších. Nosičem je množina přirozených čísel označující počty objektů. Výsledná struktura je uzavřená na operaci sčítání a násobení, není uzavřená na operaci odčítání a dělení. Prvky struktury lze jednoznačně porovnávat – o libovolných dvou prvcích lze říct, který je menší (<). Lze také jednoznačně říct, který prvek je následovníkem (x') druhého.

Přirozená čísla se obvykle definují prostřednictvím Peanových axiomů, lze je však určit (snad lépe) i následovně:

• ${\displaystyle (\forall x)x=x}$
• ${\displaystyle (\forall x,y)x=y\Leftrightarrow y=x}$
• ${\displaystyle (\forall x,y,z)x=y\land y=z\Rightarrow x=z}$
• ${\displaystyle (\forall x\exists !y)y=x'}$
• ${\displaystyle (\forall x,y\exists !z)z=x+y}$
• ${\displaystyle (\forall x,y\exists !z)z=x\cdot y}$
• ${\displaystyle (\forall x,y)x=y\Leftrightarrow x'=y'}$
• ${\displaystyle (\forall p,q,x,y)x=y\land p=q\Leftrightarrow x+p=y+q}$
• ${\displaystyle (\forall p,q,x,y)x=y\land p=q\Leftrightarrow x\cdot p=y\cdot q}$
• ${\displaystyle (\exists x\forall y)y'\not =x}$
• ${\displaystyle (\forall x,y)x'=y'\Rightarrow x=y}$
• ${\displaystyle (\forall x)x+0=x}$
• ${\displaystyle (\forall x)x\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle (\forall x,y)x+y'=(x+y)'}$
• ${\displaystyle (\forall x,y)x\cdot y'=(x\cdot y)+x}$
• Nechť ${\displaystyle \phi (x)}$ je formule s právě jednou volnou proměnnou x. Pak ${\displaystyle \phi (0)\land (\forall x)(\phi (x)\Rightarrow \phi (x'))\Rightarrow (\forall x)\phi (x)}$ je axiom.

Celá čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům přirozeným) neomezeně proveditelné také odčítání. Konstrukce vychází z toho, že každé celé číslo lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic přirozených čísel: ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$
• Ekvivalence: ${\displaystyle [x,y]\approx [u,v]\Leftrightarrow x+v=y+u}$
• Rozklad na třídy ekvivalence T: ${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {N} \times \mathbb {N} /\approx }$
• Sčítání: ${\displaystyle T[x,y]+T[u,v]=T[x+u,y+v]}$
• Násobení: ${\displaystyle T[x,y]\cdot T[u,v]=T[xu+yv,xv+yu]}$
• Obrazem přirozených čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: ${\displaystyle T[x,0]}$, kde x je přirozené číslo
• ${\displaystyle T[x,y]=x-y}$

Racionální čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům celým) neomezeně proveditelné také dělení. Konstrukce vychází z toho, že každé racionální číslo lze vyjádřit jako podíl celých čísel.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic celých čísel: ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{0}}$
• Ekvivalence: ${\displaystyle {\frac {x}{y}}\approx {\frac {u}{v}}\Leftrightarrow xv=yu}$
• Rozklad na třídy ekvivalence T: ${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{0}/\approx }$
• Sčítání: ${\displaystyle T{\frac {x}{y}}+T{\frac {u}{v}}=T{\frac {xv+yu}{yv}}}$
• Násobení: ${\displaystyle T{\frac {x}{y}}\cdot T{\frac {u}{v}}=T{\frac {xu}{yv}}}$
• Obrazem celých čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: ${\displaystyle T{\frac {x}{1}}}$, kde x je celé číslo

Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel pomocí Dedekindových řezů.

Komplexní čísla jsou množinou, ve které je řešitelná rovnice ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ a to tak, že ${\displaystyle x={\sqrt {-1}}=i}$.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel: ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$
• Ekvivalence: ${\displaystyle [x,y]=[u,v]\Leftrightarrow x=u\land y=v}$
• Sčítání: ${\displaystyle [x,y]+[u,v]=[x+u,y+v]}$
• Násobení: ${\displaystyle [x,y]\cdot [u,v]=[xu-yv,xv+yu]}$