Modulární aritmetika

Zbytkovou třídou modulo n rozumíme množinu všech celých čísel, které při dělení přirozeným číslem n dávají stejný zbytek. Tuto množinu pak můžeme chápat jako jeden celek a celá čísla, která obsahuje, již dál nerozlišovat. Například jedna ze zbytkových tříd modulo 10 je tvořena množinou ${\displaystyle \{2,12,22,32,...\}}$, jiná zbytková třída (rovněž) modulo 10 obsahuje např. prvky ${\displaystyle \{7,17,27,-3,-13,-1234567893,1147,...\}}$.

Pro libovolné ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,a,b\in \mathbb {Z} }$ definujme relaci ${\displaystyle \phi _{n}}$ takto: ${\displaystyle (a,b)\in \phi _{n}\Leftrightarrow n|a-b}$. Čísla ${\displaystyle a,b}$ se nazývají kongruentní modulo n a relace ${\displaystyle \phi _{n}}$ se nazývá číselná kongruence modulo n. Značíme ${\displaystyle a\equiv b(mod\ n)}$. Relace ${\displaystyle \phi _{n}}$ je reflexivní, symetrická a transitivní, je tedy relací ekvivalence. Znaménko ${\displaystyle \equiv }$ tedy můžeme používat podobně jako znaménko =. Rovnosti v modulární aritmetice se obvykle zapisují jako kongruence a značí se trojčárkou: a + b ≡ b + a (mod n)

Obecně vzato, rozklad, který kongruence ${\displaystyle \phi _{n}}$ na ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ vytváří má n tříd, pro které platí: ${\displaystyle [0]_{\phi _{n}}=\{k\cdot n|k\in \mathbb {Z} \},[1]_{\phi _{n}}=\{1+k\cdot n|k\in \mathbb {Z} \},\dots ,[n-1]_{\phi _{n}}=\{(n-1)+k\cdot n|k\in \mathbb {Z} \}.}$

Množinu všech zbytkových tříd pro dané ${\displaystyle n}$ značíme ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\{[a]_{n}|a\in \mathbb {Z} \}}$ ,kde ${\displaystyle [a]_{n}=\{b|b\equiv a(mod\ n)\}}$. Pro jednoduchost píšeme jen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\dots ,n-1\}}$.

Zavedená ekvivalence mezi prvky tvoří na okruhu (ℤ,+,·,0,1) kongruenci, tedy ∀a,b,n∈ℤ

• ${\displaystyle (a\;{\bmod {\;}}n+b\;{\bmod {\;}}n)\;{\bmod {\;}}n=(a+b)\;{\bmod {\;}}n}$
• ${\displaystyle (a\;{\bmod {\;}}n-b\;{\bmod {\;}}n)\;{\bmod {\;}}n=(a-b)\;{\bmod {\;}}n}$
• ${\displaystyle (a\;{\bmod {\;}}n\cdot b\;{\bmod {\;}}n)\;{\bmod {\;}}n=(a\cdot b)\;{\bmod {\;}}n}$

Proto je možné při výpočtech vzájemně zaměňovat prvky ve stejných třídách. Pro zjednodušení se nejčastěji používá vždy nejmenší nezáporné číslo.

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+)}$ a ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}\smallsetminus \{0\},\cdot )}$ tvoří komutativní grupy pro kladné celé n a pro prvočíselné p. Například pro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ mají Cayleyovy tabulky tvar:

Na ℤ_n lze přirozeně dodefinovat i další operace:

• opačné číslo, jako inverzní operaci vzhledem ke sčítání
• odčítání, jako součet s opačným číslem
• mocnění, jako iterace násobení
• odmocnina a logaritmus, jako inverzní operace k mocnění

Pokud je n prvočíslo, pak ℤ_n tvoří těleso, protože pro každý nenulový prvek existuje inverzní prvek (vzhledem k násobení). Dělení se pak definuje jako násobení inverzním prvkem.

Operace dělení a diskrétní logaritmus v modulární matematice se nechovají stejně jako v klasické aritmetice a tedy není možné jejich výsledky přímo převést do ℤ_n jako u sčítání a násobení.

Lidem je přirozenější klasická aritmetika, avšak modulární aritmetika má řadu výhod. Díky tomu, že je zde množina čísel konečná, jsou běžné operace jednodušší, rychlejší a potřebují konstantní množství paměti. Toho se využívá v počítačích, kde bývá typ "celých čísel" obvykle implementován v modulární aritmetice (nejčastěji ${\displaystyle n=2^{32}}$).

Na druhou stranu pro některé funkce není znám efektivní algoritmus (diskrétní logaritmus, faktorizace), čehož se často využívá v kryptografii.