Asymptota

Asymptota (asymptotická přímka) určité křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od této křivky se limitně blíží k nule, když se jedna nebo obě souřadnice blíží nekonečnu. Asymptotický je vztah dvou veličin, které se k sobě limitně přibližují. Slovo je z řec. asymptótos, neshodný.

Asymptota.

Asymptotami funkce y = 1/x jsou osy x a y

Definice

Mějme bod $T$ rovinné křivky a přímku $p$ . Označme vzdálenost bodu $T$ od přímky jako $\nu$ . Pokud alespoň jedna souřadnice bodu $T$ roste nade všechny meze a současně $\lim \nu =0$ , pak se přímka $p$ nazývá asymptotou.

Asymptota grafu funkce

Asymptotu grafu funkce rozlišujeme se směrnicí a bez směrnice.

Asymptota se směrnicí

Přímka $y=kx+q$ je asymptotou grafu funkce $y=f(x)$ se směrnicí právě tehdy, jestliže platí:

\lim \limits _{x\rightarrow \pm \infty }(f(x)-kx-q)=0

.

Je-li rovnice asymptoty $y=kx+q$ , potom platí:

k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}

q=\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)

Asymptota bez směrnice

Je-li funkce $y=f(x)$ definovaná pro $x\neq a\in {\mathsf {R}}$ , potom graf funkce f má asymptotu bez směrnice právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita v bodě a. Rovnice takové asymptoty je potom

x=a\,

.

Asymptota kuželosečky

Asymptotou kuželosečky je mezní poloha tečny kuželosečky - přímka, která se ke kuželosečce neomezeně blíží, ale nemá s ní žádný společný bod.

Další asymptoty

Pokud lze rovnici křivky zapsat jako

y=ax+b+\mu (x)

,

přičemž $\lim _{x\to +\infty }\mu (x)=0$ , pak přímka $y=ax+b$ je asymptotou dané křivky.

Platí-li pro křivku $y=f(x)$ vztah $\lim _{x\to \pm \infty }y=b$ , pak asymptotou křivky je přímka $y=b$ .

Obdobně lze tvrdit, že pokud pro křivku $x=g(y)$ platí $\lim _{y\to \pm \infty }x=c$ , pak asymptotou křivky je přímka $x=c$ .

Literatura

Ottův slovník naučný, heslo Asymptota. Sv. 2, str. 933

Související články

Průběh funkce
Asymptotický bod
Asymptotická křivka
Asymptotická složitost

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.