Maxwellovy rovnice

Níže uvedený zápis je platný v jednotkách soustavy SI. Zápis v jiných soustavách se od tohoto zápisu liší vynásobením některých členů konstantami, jako např. rychlostí světla c a ${\displaystyle 4\pi }$ (Ludolfovo číslo) v soustavě CGS.

Čtvrtá Maxwellova rovnice (zákon spojitosti indukčního toku)

Integrální tvar

${\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {B}}\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=0.}$

Magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou orientovanou plochou S je roven nule.

Diferenciální tvar

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=0.}$

Divergence vektoru magnetické indukce ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je rovna nule.

Ekvivalentní formulace: Neexistují magnetické monopóly.[1] (hypotetická elementární částice která nese magnetický náboj)

---

Fyzikální proměnné použité v Maxwellových rovnicích shrnuje následující tabulka

Označení	Význam	Jednotka SI
${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$	intenzita elektrického pole	V/m
${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$	intenzita magnetického pole	A/m
${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$	elektrická indukce	C/m²
${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$	magnetická indukce	T = kg/s/C
${\displaystyle \ \rho \ }$	hustota volného náboje	C/m³
${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$	hustota elektrického proudu	A/m²

Pro širokou třídu materiálů lze předpokládat, že elektrická polarizace P (C/m²) a magnetizace M (A/m) jsou vyjádřeny jako:

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\chi _{e}\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}=\chi _{m}{\boldsymbol {H}}}$

a že pole D a B jsou s E a H provázány vztahy:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}\ \ =\ \ \varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\ \ =\ \ (1+\chi _{e})\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}\ \ =\ \ \varepsilon {\boldsymbol {E}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\ \ =\ \ \mu _{0}({\boldsymbol {H}}+{\boldsymbol {M}})\ \ =\ \ (1+\chi _{m})\mu _{0}{\boldsymbol {H}}\ \ =\ \ \mu {\boldsymbol {H}},}$

kde:

${\displaystyle \chi _{e}}$ je elektrická susceptibilita materiálu,

${\displaystyle \chi _{m}}$ je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je permeabilita materiálu

V nedisperzním izotropním médiu jsou ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellovy rovnice přejdou na tvar:

${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbf {div} {\boldsymbol {E}}=\rho }$

${\displaystyle \mu \cdot \mathbf {div} {\boldsymbol {H}}=0}$

${\displaystyle \mathbf {rot} {\boldsymbol {E}}=-\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {rot} {\boldsymbol {H}}=\mathbf {j} +\varepsilon {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}}$

V homogenním médiu jsou ε a μ konstanty nezávislé na poloze a lze tedy jejich polohu zaměnit s parciálními derivacemi podle souřadnic.

Obecně mohou být ε a μ tenzory druhého řádu, které potom odpovídají popisu dvojlomných (anizotropních) materiálů. Nehledě na tato přiblížení však každý reálný materiál vykazuje jistou materiálovou disperzi, díky níž ε nebo μ závisí na frekvenci.

Pro většinu typů vodičů platí mezi proudem a elektrickou intenzitou Ohmův zákon ve tvaru

${\displaystyle {\boldsymbol {j}}=\sigma {\boldsymbol {E}},}$

kde σ je měrná vodivost daného materiálu.

Ekvivalentně (a mnohdy s výhodou) lze vyjádřit Maxwellovy rovnice pomocí skalárního a vektorového potenciálu ${\displaystyle \varphi }$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, které jsou definovány tak, aby platilo

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}\,,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\,.}$

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ se přitom nezmění, pokud k potenciálu ${\displaystyle \varphi }$ přičteme libovolnou konstantu, nebo k ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ gradient libovolného skalárního pole. Proto pro jednoduchost výsledných rovnic můžeme navíc zvolit tzv. Lorenzovu kalibrační podmínku

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {A}}+\varepsilon \mu {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.}$

Maxwellovy rovnice potom mají tvar vlnových rovnic

${\displaystyle \square \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}\,,}$

${\displaystyle \square {\boldsymbol {A}}=-\mu \,{\boldsymbol {j}}\,,}$

kde ${\displaystyle \square }$ je d'Alembertův operátor.

Ve speciální teorii relativity tvoří elektrický a magnetický potenciál dohromady čtyřvektor zvaný čtyřpotenciál ${\displaystyle A^{\nu }}$. Také d'Alembertův operátor lze zobecnit na čtyřvektory. V tomto formalismu (a s předpokladem Lorenzovy podmínky) lze pak všechny Maxwellovy rovnice napsat jako jedinou nehomogenní vlnovou rovnici

${\displaystyle \square A^{\nu }=-{\mu J^{\nu }}\,.}$

kde ${\displaystyle J^{\nu }}$ je elektrický čtyřproud a ${\displaystyle \mu }$ je permeabilita. Ve vakuu je navíc čtyřproud nulový, takže rovnice se stane homogenní a její řešení odpovídá šíření elektromagnetických vln.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Maxwellovy rovnice na Wikimedia Commons
• Jaroslav Pospíšil: Kmity a vlnění II část 2.3.2 Maxwellovy rovnice elektromagnetického vlnění na webu opto.cz
• Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice a jejich názorné odvození, BEN - technická literatura, Praha 2003, ISBN 80-7300-096-2.