Intenzita elektrického pole

Podle Coulombova zákona lze v bodě ${\displaystyle \mathbf {r} }$ v okolí bodového náboje ${\displaystyle Q}$ umístěného v počátku soustavy souřadnic vyjádřit intenzitu elektrického pole vztahem

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r^{2}}}{\frac {\boldsymbol {r}}{r}}}$,

kde ${\displaystyle \varepsilon }$ je permitivita prostředí elektrického pole, ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ je polohový vektor určující polohu daného bodu a ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|}$ jeho délka. Jejich podíl je jednotkovým vektorem, který určuje směr. Po jeho odstranění zůstane vzorec pro velikost intenzity elektrického pole v okolí bodového náboje ${\displaystyle Q}$ ve vzdálenosti ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r^{2}}}.}$

Oba výše uvedené uvedené vztahy platí za předpokladu, že prostředí v němž určujeme intenzitu pole je vakuum nebo homogenní lineární dielektrikum.

Směr vektoru elektrické intenzity ${\displaystyle E}$ je dán směrem působící elektrické síly. Orientace elektrické intenzity je dána domluvou, že zkušebním tělesem je kladně nabité těleso, a tedy elektrická intenzita směřuje od tělesa s kladným elektrickým nábojem k tělesu se záporným elektrickým nábojem.

V obecném případě, kdy bodový náboj vytvářejí elektrické pole není umístěn v počátku soustavy souřadnic, ale v poloze ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}^{\prime }}$, se poloha bodu v němž určujeme intenzitu pole vyjadřuje relativně k ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}$, což vyjadřuje vektorový rozdíl ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }}$, kterým se nahradí vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$. Výsledný vztah je

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}^{3}}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime })}$.

Intenzitu elektrostatického pole lze také určit z elektrického potenciálu prostřednictvím vztahu

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})=-\operatorname {grad} \varphi ({\boldsymbol {r}})=-\nabla \varphi ({\boldsymbol {r}})}$,

kde ${\displaystyle \varphi }$ je potenciál elektrického pole a ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ označuje operátor gradientu.

Nechá-li se vektor elektrické intenzity procházet uzavřenou, vně orientovanou plochou (Gaussova plocha), jedná se o veličinu tok elektrické intenzity, která je úměrná náboji uvnitř. Tato skutečnost je vyjádřena Gaussovým zákonem elektrostatiky:

${\displaystyle \oint _{S}{{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}={\frac {Q}{\varepsilon }}}$.

Pro intenzitu elektrického pole platí princip superpozice, tzn., že celková intenzita el. pole vytvářená více zdroji je rovna součtu intenzit el. pole těchto dílčích zdrojů.

Ze základních vztahů lze odvodit vzorce pro intenzitu elektrického pole vytvářeného různým rozložením el. náboje v prostoru. Následující vztahy platí za předpokladu, že prostředí v němž určujeme intenzitu pole je vakuum nebo homogenní lineární dielektrikum.

Pro intenzitu el. pole ${\displaystyle n}$ bodových nábojů ${\displaystyle Q_{i}}$ nacházejících se v pozicích ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}}$ platí, že

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {E}}_{i}({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}|}^{3}}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i})}$,

Intenzitu el. pole vytvářeného el. nábojem spojitě rozloženým v objemu ${\displaystyle V}$ lze vyjádřit vztahem

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{V}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}^{3}}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime })\mathrm {d} V}$,

kde ${\displaystyle \rho }$ je objemová hustota elektrického náboje a ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}^{\prime }}$ označuje proměnnou, která při integrování prochází přes objem ${\displaystyle V}$.

Intenzitu el. pole vytvářeného el. nábojem spojitě rozloženým na ploše ${\displaystyle S}$ lze vyjádřit vztahem

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{S}{\frac {\sigma ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}^{3}}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime })\mathrm {d} S}$,

kde ${\displaystyle \sigma }$ je plošná hustota elektrického náboje a ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}^{\prime }}$ označuje proměnnou, která při integrování prochází přes plochou ${\displaystyle S}$.

Intenzitu el. pole vytvářeného el. nábojem spojitě rozloženým po křivce ${\displaystyle l}$ lze vyjádřit vztahem

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{l}{\frac {\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}^{3}}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime })\mathrm {d} l}$,

kde ${\displaystyle \tau }$ je lineární hustota elektrického náboje a ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}^{\prime }}$ označuje proměnnou, která při integrování prochází přes křivku ${\displaystyle l}$.