Elektrický potenciál

• Značka: φ
• Jednotka: volt, značka: V

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

${\displaystyle \varphi ={\frac {W}{Q}}}$,

kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.

Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}+\varphi _{0}}$,

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ je polohový vektor bodu prostoru a ${\displaystyle \varphi _{0}}$ je Integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade ${\displaystyle \varphi _{0}=0}$.

Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje ${\displaystyle \rho }$ lze vyjádřit vztahem

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{V}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} V}$,

kde ${\displaystyle V}$ je celkový objem, přes který se integruje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje ${\displaystyle \rho }$ nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{S}{\frac {\sigma ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} S}$,

kde ${\displaystyle \sigma }$ je plošná hustota elektrického náboje.

Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{l}{\frac {\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} l}$,

kde ${\displaystyle \tau }$ je lineární hustota elektrického náboje.

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy ${\displaystyle n}$ bodových nábojů ${\displaystyle Q_{1}}$ až ${\displaystyle Q_{n}}$, jejichž polohové vektory jsou ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}}$ až ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{n}}$.

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}|}}+\varphi _{0}}$

Potenciál jednoho z bodových nábojů ${\displaystyle Q_{i}}$ ze soustavy nábojů ${\displaystyle Q_{1}}$ až ${\displaystyle Q_{n}}$ vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

${\displaystyle \varphi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{j\neq i}{\frac {Q_{j}}{|{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}|}}}$

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})=-\operatorname {grad} \,\varphi ({\boldsymbol {r}})}$

Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. ${\displaystyle \varphi _{0}=0}$, potom lze podle předchozího vztahu psát

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})=-\int _{\infty }^{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$

Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. ${\displaystyle \varphi ={\mbox{konst}}}$, se nazývá ekvipotenciální plocha.

Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu ${\displaystyle \varphi ={\mbox{konst}}}$, tzn.

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\mathrm {d} z=-(E_{x}\mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} z)=-{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=0}$,

kde ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}$ leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ a ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}$ jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ je kolmé k ekvipotenciální ploše.

• Elektrické napětí
• Elektrický náboj
• Elektrické pole