Čtyřúhelník
Čtyřúhelník (cizím slovem tetragon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami.
Definice
Lze jej definovat více způsoby. Zde jsou dvě definice čtyřúhelníku:
- Definice1: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.
- Definice2: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.
Základní pojmy
Čtyřúhelníky můžeme třídit z mnoha hledisek. Mezi nejzákladnější patří rozdělení na čtyřúhelníky konvexní a nekonvexní.
konvexní útvar U nazýváme konvexní právě tehdy, když pro každé
jeho dva body X, Y platí, že úsečka XY je podmnožinou útvaru U. | ![]() konvexní | nekonvexní útvar U nazýváme nekonvexní právě tehdy, když existují alespoň
dva body X, Y náležící útvaru U pro které platí,že úsečka XY není podmnožinou útvaru U. | ![]() nekonvexní |
![](../I/Tetragon_measures.svg.png.webp)
Pro konvexní čtyřúhelník musí platit, že všechny jeho vnitřní úhly jsou větší než 0° a menší než 180°, zatímco nekonvexní čtyřúhelník má právě jeden úhel větší než 180° a menší než 360°.
Dále se budeme zabývat pouze konvexními čtyřúhelníky a slovo konvexní budeme vynechávat. Standardní označení stran a úhlů v konvexním čtyřúhelníku.
Čtyřúhelník lze definovat více způsoby. Uveďme alespoň dvě definice čtyřúhelníku.
- Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.
- Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti.
Úsečky AC, BD nazýváme úhlopříčky čtyřúhelníku ABCD. Úhly ∠ABC, ∠BCD, ∠ADC, ∠BAD náleží vnitřní oblasti čtyřúhelníku, nazýváme je vnitřními úhly.
Dvojice úhlů ∠ABC, ∠BCD; ∠BCD, ∠ADC; ∠ADC, ∠BAD; ∠BAD, ∠ABC označujeme jako sousední úhly čtyřúhelníku ABCD a dvojice úhlů ∠ABC, ∠ADC a ∠BCD, ∠BAD jako protější úhly čtyřúhelníku ABCD.
Obvyklé značení pro délky stran je |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |AD| = d; délky úhlopříček |AC| = e = , |BD|= f = a pro velikosti úhlů: |∠BAD| = α,
|∠ABC| = β,|∠BCD| = γ, |∠ADC| = δ.[1]
Klasifikace čtyřúhelníků
![](../I/Klasifikace_%C4%8Dty%C5%99%C3%BAheln%C3%ADk%C5%AF.png.webp)
Čtyřúhelníky lze rozdělit několika způsoby - například podle rovnoběžnosti stran
- rovnoběžník
- lichoběžník
- různoběžník
Rovnoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné v každé z obou dvojic.
dělení podle velikosti úhlů
| dělení podle délky stran
|
Lichoběžník je čtyřúhelník, který má protější (nesousedící, nemající společný vrchol) strany rovnoběžné pouze v jedné z obou dvojic; tyto strany se pak nazývají základny.
obecný | každá strana má jinou délku |
rovnoramenný | nerovnoběžné strany jsou shodné |
pravoúhlý | jedno rameno je kolmé k základně |
Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.
Další speciální případy čtyřúhelníků, které rozdělení podle rovnoběžnosti stran nepostihuje:
- Tětivový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici.
- Tečnový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici.
- Dvojstředový čtyřúhelník je čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, je tedy současně tětivovým i tečnovým čtyřúhelníkem.
- Deltoid ("drak") je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé, přičemž jedna z nich (hlavní úhlopříčka) půlí druhou (vedlejší úhlopříčku). Každý deltoid je současně tečnový čtyřúhelník.
Obvod a obsah
Obvod čtyřúhelníku se rovná součtu délek všech stran. O = a + b + c + d.
Pro jeho obsah platí Bretschneiderův vzorec:
kde a, b, c, d jsou strany čtyřúhelníku, s je jeho poloviční obvod; α a γ úhly při protilehlých vrcholech (např. A a C).
Obsah je také možno vypočítat rozdělením čtyřúhelníku na dva trojúhelníky:
Ke konstrukci obecného čtyřúhelníku potřebujeme 5 prvků, z nichž aspoň 2 musí mít rozměr délky. Nejčastěji si jej vhodně rozdělíme (např. úhlopříčkou) na dva trojúhelníky a začne tím, ve kterém známe 3 prvky. K doplnění druhého trojúhelníku postačí 2 prvky, protože společnou stranu již známe.
Má-li čtyřúhelník nějaké zvláštní vlastnosti (symetrie), pak k jeho narýsování stačí méně prvků (u rovnoběžníku jen 3, u čtverce 1 prvek).
Reference
- MRÁZOVÁ, Marta. Čtyřúhelníky [online]. Brno: 2008-12-05 [cit. 2021-01-18]. Dostupné online.
Externí odkazy
Slovníkové heslo čtyrúhelník ve Wikislovníku
Obrázky, zvuky či videa k tématu čtyřúhelník na Wikimedia Commons