Asymptotická analýza

Jsou-li dány funkce f (x) a g(x), definujeme, že tyto funkce jsou ekvivalentní

${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{pro }}x\to \infty )}$

právě tehdy, když [1]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$

Symbol ~ je vlnovka (tilda). Relace je ekvivalence na množině funkcí proměnné x; funkce f a g se nazývají asymptoticky ekvivalentní. Definiční obor funkcí f a g může být libovolná množina, pro kterou je limita definovaná: například reálná čísla, komplexní čísla, kladná celá čísla.

Stejná notace se používá i pro jiné způsoby limitního přechodu: například x → 0, x ↓ 0, ${\displaystyle |x|\to 0}$. Způsob limitního přechodu často není uveden explicitně, pokud je jasný z kontextu.

Přestože výše uvedená definice je v literatuře běžná, je problematická, pokud g(x) je nulová nekonečně často, když se x blíží k limitní hodnotě. Proto někteří autoři používají alternativní definici, která používá Landauovu notaci:

f ~ g právě tehdy, když

${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$

Tato definice je ekvivalentní s předchozí definicí, pokud g(x) není nulová v nějakém okolí limitní hodnoty.[2][3]

Pokud ${\displaystyle f\sim g}$ a ${\displaystyle a\sim b}$, pak za určitých nepříliš omezujících podmínek,^[vysvětlit] platí:

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, pro každé reálné r
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$ pokud ${\displaystyle \lim g\neq 1}$
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

Tyto vlastnosti dovolují, aby v mnoha algebraických výrazech byly asymptoticky ekvivalentní funkce volně zaměňovány.

• Faktoriál
  

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ – toto je Stirlingův vzorec

• Partitní funkce
  

Pro kladné celé číslo n udává partitní funkce p(n) počet rozkladů celého čísla n na součet kladných celých čísel (na pořadí sčítanců nezáleží).

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$

• Airyho funkce
  

Airyho funkce, Ai(x), je řešením diferenciální rovnice y″ − xy = 0; má mnoho aplikací ve fyzice.

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$

• Hankelovy funkce
  

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$

Asymptotický rozvoj funkce f(x) je vyjádření této funkce pomocí matematické řady, jejíž částečné součty nemusí vždy konvergovat, ale je takové, že libovolný počáteční částečný součet dává asymptotický vzorec pro f. Myšlenkou je, že zahrnutím dalších členů se popis stále zpřesňuje, jak řád funkce f roste.

Zapsáno symbolicky to znamená, že máme ${\displaystyle f\sim g_{1},}$ ale také ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$ a ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ pro každé pevné k. Vzhledem k definici symbolu ${\displaystyle \sim }$ znamená poslední rovnost, že ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$ v notaci malé o, tj. že ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$ je mnohem menší než ${\displaystyle g_{k}.}$

Relace ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ nabývá svůj plný význam, pokud ${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$ pro všechna k, což znamená, že ${\displaystyle g_{k}}$ tvoří asymptotickou škálu. V tomto případě někteří autoři zneužívají značení a píší ${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$ místo ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$ Toto však není standardní použití symbolu ${\displaystyle \sim ,}$ protože neodpovídá definici uvedené v části Definice.

V této situaci relace ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$ skutečně vyplývá ze zkombinování kroků k a k−1; odečtením ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$ od ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$ dostaneme ${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$ tj. ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

V případě, že asymptotický rozvoj pro nějakou hodnotu argumentu nekonverguje, existuje určitý částečný součet, který poskytuje nejlepší aproximaci, takže přidáním dalších členů by se přesnost snižovala. Když se argument přibližuje limitní hodnotě, počet členů tohoto optimálního částečného součtu se obvykle zvyšuje.

Asymptotické rozdělení je v matematické statistice hypotetické rozdělení, které je v určitém smyslu „limitním“ rozdělením posloupnosti rozdělení. Rozdělení je uspořádaná množina náhodných proměnných Z_i pro i = 1, …, n, pro nějaké kladný celé číslo n. Asymptotické rozdělení umožňuje, aby se i zvětšovalo neomezeně, což znamená, že n je nekonečné.

Speciálním případem asymptotického rozdělení je, když se poslední položky blíží k nule – tj. Z_i jde k 0 když i roste nade všechny meze. Některé instance „asymptotického rozdělení“ se vztahují pouze na tento speciální případ.

Toto je založené na pojmu asymptotické funkce, která se čistě přibližuje k nějaké konstantě (asymptotě) když se nezávislá proměnná blíží k nekonečnu; „čistě“ v tomto smyslu znamená, že pro každou dané epsilon existuje nějaká hodnota nezávislé proměnné, od níž se funkce nikdy neodlišuje od uvedené konstanty o více než epsilon.

Asymptota je přímka, ke které se nějaká křivka blíží, ale nikdy se s ní neprotíná. Neformálně můžeme říct, že křivka se dotýká asymptoty „v nekonečnu“, ale to není přesná definice. V rovnici ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$ může y nabývat libovolně malých hodnot, když se x zvětšuje.

Asymptotická analýza se používá v několika matematických vědách. Ve statistice asymptotická teorie poskytuje limitní aproximace rozdělení pravděpodobnosti vybraných vzorků, například statistiky poměru věrohodnosti a střední hodnotu deviance. Asymptotická teorie však neposkytuje metodu pro vyhodnocování statistik konečných vzorků rozdělení. Neasymptotické meze však poskytují metody teorie aproximace.

K aplikacím asymptotické analýzy patří:

• V aplikované matematice se asymptotická analýza používá pro vytváření numerických metod pro přibližné řešení rovnic.
• V matematické statistice a teorii pravděpodobnosti se asymptotiky používají pro analýzu dlouhodobých nebo velmi rozsáhlých vzorků chování náhodných proměnných a odhadů.
• V matematické informatice v analýze algoritmů pro porovnávání rychlosti algoritmů.
• Chování fyzikálních systémů, příkladem je statistická mechanika.
• V analýze nehod pro identifikaci příčiny srážky pomocí modelování počtů při velkém počtu srážek v určitém čase a prostoru.

Asymptotická analýza je klíčovým nástrojem pro zkoumání obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, které se objevují v matematickém modelování skutečných jevů.[4] Ukázkovým příkladem je odvození rovnice hraniční vrstvy z úplné Navierovy–Stokesovy rovnice popisující tok tekutiny. V mnoha případech je asymptotický rozvoj řízen malým parametrem ε: v případě hraniční vrstvy je to bezrozměrný poměr tloušťky hraniční vrstvy k typické délkové škále problému. Aplikace asymptotické analýzy v matematickém modelování se skutečně často[4] točí okolo bezrozměrného parametru, o kterém lze ukázat nebo předpokládat, že je malý vůči měřítku řešeného problému.

Asymptotické rozvoje se typicky objevují při aproximaci určitých integrálů (Laplaceova metoda, metoda sedlového bodu, metoda největšího spádu) nebo při aproximaci rozdělení pravděpodobnosti (Edgeworthova řada). Dalším příkladem asymptotického rozvoje, který často nekonverguje, jsou Feynmanovy diagramy v kvantové teorii pole.