Asymptotický rozvoj

Nejdříve definujeme asymptotickou škálu, pak formálně definujeme asymptotický rozvoj.

Pokud ${\displaystyle \varphi _{n}}$ je posloupnost spojitých funkcí na nějaké doméně a L je limitní bod definičního oboru, pak posloupnost vytváří asymptotickou škálu, pokud pro každé n platí

${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\to L).}$

(L může být nekonečno.) Jinými slovy, posloupnost funkcí tvoří asymptotickou škálu, pokud každá funkce v posloupnosti roste striktně pomaleji (v limitě ${\displaystyle x\to L}$) než předchozí funkce.

Pokud f je spojitá funkce na doméně asymptotické škály, pak f má asymptotický rozvoj řádu N podle škály jako formální řada

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)}$

pokud

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\ (x\to L)}$

nebo

${\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\ (x\to L).}$

Pokud platí jedno nebo druhé pro všechna N, pak zapisujeme^[zdroj?]

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\to L).}$

V protikladu ke konvergentní řadě pro ${\displaystyle f}$, kde pro jakékoli pevné ${\displaystyle x}$ řada konverguje v limitě ${\displaystyle N\to \infty }$, můžeme asymptotickou řadu považovat za konvergující pro pevné ${\displaystyle N}$ v limitě ${\displaystyle x\to L}$ (kde ${\displaystyle L}$ může být nekonečné).

Grafické znázornění absolutní hodnoty chyby v asymptotickém rozvoji funkce Gama (vlevo). Vodorovná osa je počet členů asymptotického rozvoje. Modré body jsou pro x = 2 a červené body jsou pro x = 3. Je vidět, že nejmenší chyba nastává u 14 členů pro x = 2, a u 20 členů pro x = 3, u více členů chyba diverguje.

• Gama funkce (Stirlingův vzorec)

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$

• Exponenciální integrál

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$

• Logaritmický integrál

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

• Riemannova funkce zeta

${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$kde ${\displaystyle B_{2m}}$ jsou Bernoulliho čísla a ${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}$ je rostoucí faktoriál. Tento rozvoj je platný pro všechna komplexní s a často se používá pro výpočet zeta funkce použitím dostatečně velké hodnoty N, například ${\displaystyle N>|s|}$.

• Chybová funkce

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$ kde (2n − 1)!! je dvojitý faktoriál.

Asymptotické rozvoje se často objevují, když se obyčejná řada použije ve formálním výrazu, který způsobí, že je použita pro hodnoty mimo svůj poloměr konvergence. Můžeme například začít s obyčejnou řadou

${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.}$

Výraz vlevo má smysl na celé komplexní rovině, až na ${\displaystyle w=1}$, zatímco pravá strana konverguje pouze pro ${\displaystyle |w|<1}$. Znásobení výrazem ${\displaystyle e^{-w/t}}$ a zintegrování obou stran dává

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,}$

po substituci ${\displaystyle u=w/t}$ na pravé straně. Integrál na levé straně, chápaný jako hlavní hodnota integrálu, lze vyjádřit pomocí exponenciálního integrálu. V integrálu na pravé straně rozpoznáváme Gama funkci. Vyhodnocením obou stran obdržíme asymptotický rozvoj

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.}$

Jeho pravá strana jasně není konvergentní pro jakoukoli nenulovou hodnotu t. Zkrácením řady vpravo na konečný počet členů však můžeme obdržet docela dobrou aproximaci hodnoty ${\displaystyle \operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)}$ pro dostatečně malé t. Provedeme substituci ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{t}}}$ a všimneme si, že ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$ vede k asymptotickému rozvoji uvedenému výše v tomto článku.