Besselova funkce

Není-li ${\displaystyle \nu }$ celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

${\displaystyle w(z)=c_{1}J_{\nu }(z)+c_{2}J_{-\nu }(z)}$,

kde ${\displaystyle J_{\nu }(z)}$ a ${\displaystyle J_{-\nu }(z)}$ jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu ${\displaystyle \nu }$ je definována vztahem

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{{K!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}}$,

kde ${\displaystyle \Gamma (x)}$ je gama funkce.

Je-li ${\displaystyle \nu =n}$ celé číslo, pak platí

${\displaystyle J_{-n}(z)={(-1)}^{n}J_{n}(z)}$,

výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro ${\displaystyle n=0,1,2,...}$ lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

${\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )\mathrm {d} \theta }$

Platí následující rekurentní vztahy

${\displaystyle 2\nu J_{\nu }(z)=zJ_{\nu -1}(z)+zJ_{\nu +1}(z)}$

${\displaystyle 2J_{\nu }^{\prime }(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)}$

${\displaystyle zJ_{\nu }^{\prime }(z)=\nu J_{\nu }(z)-zJ_{\nu +1}(z)}$

${\displaystyle zJ_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu J_{\nu }(z)+zJ_{\nu -1}(z)}$

Je-li ${\displaystyle \nu =n}$ celé číslo, pak ${\displaystyle J_{n}(z)}$ a ${\displaystyle J_{-n}(z)}$ nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

${\displaystyle w(z)=c_{1}J_{n}(z)+c_{2}N_{n}(z)}$,

kde ${\displaystyle N_{n}(z)}$ je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná ${\displaystyle \nu =n}$ definovány vztahem

${\displaystyle N_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}$

Pro ${\displaystyle \nu }$ různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

${\displaystyle N_{\nu }(z)={\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}$

Je-li ${\displaystyle \nu =n}$ celé číslo, pak platí

${\displaystyle N_{-n}(z)={(-1)}^{n}N_{n}(z)}$

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

${\displaystyle J_{\nu }(z)N_{\nu +1}(z)-J_{\nu +1}(z)N_{\nu }(z)=-{\frac {2}{\pi z}}}$

Platí následující rekurentní vztahy

${\displaystyle 2\nu N_{\nu }(z)=zN_{\nu -1}(z)+zN_{\nu +1}(z)}$

${\displaystyle 2N_{\nu }^{\prime }(z)=N_{\nu -1}(z)-N_{\nu +1}(z)}$

${\displaystyle zN_{\nu }^{\prime }(z)=\nu N_{\nu }(z)-zN_{\nu +1}(z)}$

${\displaystyle zN_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu N_{\nu }(z)+zN_{\nu -1}(z)}$

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce ${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)}$ a ${\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)}$, které jsou definovány jako

${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+\mathrm {i} N_{\nu }(z)}$

${\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-\mathrm {i} N_{\nu }(z)}$

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Není-li ${\displaystyle \nu }$ celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

${\displaystyle w(z)=c_{1}I_{\nu }(z)+c_{2}I_{-\nu }(z)}$,

kde ${\displaystyle I_{\nu }(z)}$ je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

${\displaystyle I_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{K!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}}$

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

${\displaystyle I_{\nu }(z)=\mathrm {i} ^{-\nu }J_{\nu }(\mathrm {i} z)}$

Pro celá ${\displaystyle \nu =n}$ platí

${\displaystyle I_{-n}(z)=I_{n}(z)}$

Pro celá ${\displaystyle n}$ tedy nejsou ${\displaystyle I_{n}(z)}$ a ${\displaystyle I_{-n}(z)}$ lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle w(z)=c_{1}I_{n}(z)+c_{2}K_{n}(z)}$,

kde ${\displaystyle K_{n}(z)}$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé ${\displaystyle \nu }$ je definováno

${\displaystyle K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}$

Pro celá ${\displaystyle \nu =n}$ pak platí

${\displaystyle K_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}$