Převrácená hodnota

V matematice se jako převrácená (neboli reciproká) hodnota čísla x označuje to číslo, které po vynásobení číslem x dává jako výsledek 1. Převrácená hodnota čísla x se označuje jako ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ nebo ${\displaystyle x^{-1}}$. Platí tedy, že ${\displaystyle x\cdot x^{-1}=1}$.

Nula je jediné číslo, které nemá převrácenou hodnotu v racionálním, reálném ani komplexním oboru. (Komplexní čísla však lze rozšířit o tzv. komplexní nekonečno, které je v takto rozšířeném oboru jednoznačným převráceným číslem k nule.) Všechna ostatní čísla z těchto oborů ji mají, přičemž převrácená hodnota racionálního čísla je racionální číslo, převrácená hodnota reálného čísla je reálné číslo (ale převrácená hodnota celého čísla není číslo celé (s výjimkou ±1), ale číslo racionální).

Převrácenou hodnotu komplexního čísla v algebraickém tvaru ${\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }$ lze vyjádřit jako

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{a+b\mathrm {i} }}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i} }$,

v goniometrickém tvaru

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r\left(\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )\right)}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+\mathrm {i} \sin(-\varphi )\right).}$

V abstraktní algebře je převrácená hodnota označována jako inverzní prvek vzhledem k násobení, jedná se o speciální případ inverzního prvku.