Univerzální algebra

Pro dosažení tohoto cíle musí univerzální algebra pracovat s definicí, která obsáhne nejrůznější matematické struktury. Například:

• grupa je čtveřice ${\displaystyle (G,\circ ,e,^{-1})}$, kde ${\displaystyle \circ }$ je binární operace (tj. vyžadující dva argumenty) nad ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle e}$ je konstanta (nulární operace) z ${\displaystyle G}$ a ${\displaystyle ^{-1}}$ je unární operace (vyžadující jeden argument).
• svaz je trojice ${\displaystyle (S,\vee ,\wedge )}$, kde ${\displaystyle \vee }$ i ${\displaystyle \wedge }$ jsou binární operace nad ${\displaystyle S}$

Aby bylo možno jednotně pracovat s tak odlišnými strukturami, zavádí se pojem signatura, což je výčet symbolů s uvedenou aritou. Například u grup předpokládáme, že existují matematické symboly "${\displaystyle \circ }$", "${\displaystyle e}$" a "${\displaystyle ^{-1}}$" a signatura grup je zobrazení, které každému z nich přiřadí jeho aritu. Označíme-li signaturu grup ${\displaystyle \sigma _{_{G}}\,\!}$, pak tedy platí:

${\displaystyle \sigma _{G}(\circ )=2\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{G}(e)=0\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{G}(^{-1})=1\,\!}$

Jelikož zobrazení v matematice reprezentujeme jako množinu uspořádaných dvojic, platí:

${\displaystyle \sigma _{G}=((\circ ,2),(e,0),(^{-1},1))}$

Striktně vzato pak signatura není množina symbolů, ale zobrazení, jehož definičním oborem je množina symbolů. Tam, kde nehrozí nedorozumění, však tento rozdíl opomíjíme a běžně říkáme, že symbol je prvkem signatury (například říkáme, že něco platí pro každý symbol ${\displaystyle O_{i}\in \sigma }$). Formálně správné by však bylo psát ${\displaystyle O_{i}\in \operatorname {Dom} \,\sigma }$, kde ${\displaystyle Dom}$ značí doménu (definiční obor) zobrazení.

Algebru dané signatury pak reprezentujeme jako uspořádanou dvojici ${\displaystyle (A,Op)}$, kde ${\displaystyle A}$ je nosná množina algebry a ${\displaystyle Op}$ je zobrazení, které každému symbolu signatury přiřadí konkrétní operaci.

Například grupu celých čísel reprezentujeme jako dvojici ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,Op_{_{Z}})}$, kde ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ je množina celých čísel a ${\displaystyle Op_{_{Z}}}$ je zobrazení, které symbolu "${\displaystyle \circ }$" přiřadí matematickou operaci "sčítání na celých čísel", tedy množinu uspořádaných dvojic ${\displaystyle ((a,b),c)}$, takových, že ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$ a ${\displaystyle a+b=c}$.

Pojmem operace se označují jak symboly ze signatury, tak i konkrétní operace na nosné množině.

Signatura je jakékoli zobrazení, jehož obor hodnot jsou přirozená čísla ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$. Jeho definiční obor nazýváme množina symbolů.

Pro porozumění je vhodné si symboly představovat jako znaménka (textové řetězce), (například symbol + nepředstavuje žádnou konkrétní operaci a konkrétní algebry mu přiřadí různé konkrétní operace). V axiomatické teorii množin však nemáme k dispozici žádné jiné objekty, než množiny vytvořené několika základními operacemi z prázdné množiny. Proto se za symboly používají přirozená čísla, protože pojem "symbol +" nelze jejími prostředky exaktně definovat, ačkoli jeho význam je zřejmý.

Algebrou signatury ${\displaystyle \sigma }$ rozumíme dvojici (A, Op), kde A je množina a Op je zobrazení, které každému symbolu v ${\displaystyle S\in Dom\ \sigma }$ přiřadí algebraickou operaci nad A příslušné arity n. Operací rozumíme zobrazení, které n-tici prvků z A přiřadí prvek z A.

Příkladem algeber s výše uvedenou signaturou (+,2 ; -,1 ; .,2) jsou tyto struktury:

• Množina celých čísel s obvyklým sčítáním, opačným prvkem a násobením; taktéž množina racionálních, reálných či komplexních čísel
• Množina {0, 1} s obvyklými operacemi, kde 1 + 1 = 0 (toto tzv. těleso modulo 2 má mnoho využití např. v šifrování)
• Množina {0, 1} s obvyklými operacemi, kde 1 + 1 = 1 (tato Booleova algebra má aplikací například ve výrokové logice)
• Množina celých čísel s klasickým sčítáním a opačným prvkem, kde ovšem symbol . bude představovat funkci

a.b = 123a + 456b + 789

Poslední uvedený příklad není přirozený ani užitečný, ale lze na něm demonstrovat, že na téže množině je možno tutéž signaturu realizovat mnoha různými operacemi.

Množina všech přirozených čísel včetně nuly s obvyklými operacemi není algebrou, protože nesplňuje podmínku, že výsledek operace musí ležet opět v algebře (například 0-1 nebo 5-10 v ní neleží). Kdybychom však uvažovali signaturu, která obsahuje jen sčítání a násobení (nikoli odčítání), pak by algebrou byla.

Pojem podalgebra je zobecněním pojmů podgrupa, podprostor, podmonoid apod. Podmnožina A tvoří podalgebru, pokud je uzavřená na všechny operace z příslušné signatury (tzn. pokud argumenty operace náleží této podmnožině, musí v ní ležet i výsledek).

Například přirozená čísla ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$ tvoří podalgebru celých čísel, pokud na nich uvažujeme jen operaci sčítání. Pokud i odčítání, pak podalgebrou není, protože 2-5 v ní neleží, ačkoli 2 i 5 v ní leží. Jinými slovy, přirozená čísla (včetně nuly) jsou podpologrupou podpologrupy celých čísel se sčítáním, ale nejsou její podgrupou, ačkoli celá čísla se sčítáním grupu tvoří.

Striktně vzato jsou operace na podalgebře restrikcí operací na původní algebře, například sčítání na přirozených číslech je restrikcí operace sčítání na celých číslech.

Formálně: Budiž ${\displaystyle (A,Op)}$ algebra signatury ${\displaystyle \sigma }$. Potom ${\displaystyle (B,{\widehat {Op}})}$ je podalgebrou ${\displaystyle (A,Op)}$, pokud:

• ${\displaystyle (B,{\widehat {Op}}}$) je rovněž algebra signatury ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle B\subseteq A}$
• Pro každý symbol ${\displaystyle S_{i}\in \sigma }$ arity n platí, že ${\displaystyle {\widehat {Op(S_{i})}}=Op(S_{i})\upharpoonleft B^{n}}$

Význam definice

Poslední podmínka říká, že operace v podalgebře musí dávat přesně stejné výsledky, jako v původní algebře (pokud v původní algebře 1+3 bylo 0, nemůže být v podalgebře 1+3 být nic jiného než opět 0).

Pro pochopení zápisu ${\displaystyle {\widehat {Op(S_{i})}}}$ je třeba si uvědomit, že signatura ${\displaystyle \sigma }$ obsahuje symbol, který značíme +, nikoli konkrétní matematickou funkci. Pokud chceme ukázat, že sudá čísla s obvyklým sčítáním jsou podalgebrou (tedy podpologrupou) pologrupy celých čísel s obvyklým sčítáním, pak má signatura jen jediný symbol "+", označme jej ${\displaystyle S_{1}}$. Potom zobrazení Op symbolu "+" přiřadí operaci sčítání na celých čísel, zatímco zobrazení ${\displaystyle {\widehat {Op(S_{i})}}}$ témuž symbolu přiřadí operaci sčítání na přirozených číslech, což je restrikce sčítání na celých číslech.

Výraz ${\displaystyle B^{n}}$ značí množinu všech uspořádaných n-tic prvků z ${\displaystyle B}$. V našem případě ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$ značí množinu všech přirozených čísel a ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{0})^{2}}$ množinu dvojic přirozených čísel. Sčítání přirozených čísel je totiž zobrazení, které dvojici přirozených čísel přiřadí přirozené číslo. Proto by bylo nepřesné použít zápis ${\displaystyle Op(S_{i})\upharpoonleft B}$ (v našem případě ${\displaystyle +\upharpoonleft \mathbb {N} ^{0}}$). Ovšem když nehrozí nedorozumění, běžně se mluví o "restrikci na přirozená čísla" apod.

Tam, kde nehrozí nedorozumění, je obvyklé značit různé, navzájem související operace stejným symbolem. Když řekneme, že monoid ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0)}$ je podmonoidem monoidu ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{0},+,0)}$, pak symbolem + jednou značíme sčítání na celých číslech a jednou na celých.

Homomorfismus je definován podobně, jako v jiných algebraických strukturách. Jsou-li A, B dvě algebry téže signatury ${\displaystyle \sigma }$, pak zobrazení f z A do B je homomorfismem právě tehdy, pokud pro každou operaci g ze ${\displaystyle \sigma }$ (její aritu značme n) a každé x₁ až x_n ${\displaystyle \in }$ A, platí

f (g_A (x₁, x₂ ..., x_n)) = g_B(f(x₁), f(x₂), ... f(x_n))

přičemž g_A a g_B je označení pro operaci, kterou je symbol g realizován v algebrách A a B.

Například pro výše uvedenou signaturu okruhů je zobrazení f homomorfismem, pokud pro každé x,y ${\displaystyle \in }$ A platí:

• f(x+y) = f(x) + f(y)
• f(-x) = -f(x)
• f(x*y) = f(x) * f(y)

Jádro homomorfismu f z A do B (značené Ker f) je označení pro binární relaci R takovou, že

x~_Ry právě když f(x) = f(y)

Binární relace R na nosné množině algebry A se nazývá kongruencí, pokud pro všechny operace algebry platí

${\displaystyle a_{1}\sim _{R}b_{1},a_{2}\sim _{R}b_{2},\ldots ,a_{m_{i}}\sim _{R}b_{m_{i}}\implies O_{i}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m_{i}})\sim _{R}O_{i}(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m_{i}})\,\!}$

Relace na A je kongruencí právě tehdy, pokud je jádrem nějakého homomorfismu (příklad je v článku o kongruencích).

Na faktormnožině A/R je možné přirozeným způsobem definovat strukturu algebry s touž signaturou, tzv. faktoralgebru.

Příklad: Uvažujme homomorfismus ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,f(n)=-1^{n}}$. Tento homomorfismus sudým celým číslům přiřadí hodnotu 1 a lichým -1. Jeho jádrem je relace " x - y je sudé číslo" a faktoralgebrou je dvouprvková množina, která obsahuje množinu sudých čísel a množinu lichých čísel, tzv. těleso modulo n.