Topologický priestor

Topologický priestor je usporiadaná dvojica ${\displaystyle (X,\tau )}$, kde X je množina a ${\displaystyle \tau }$, ktorej prvky sa nazývajú aj otvorené množiny[2], je množina podmnožín X, pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:

1. Prázdna množina a množina X sú otvorené, teda

   ${\displaystyle \emptyset \in \tau \qquad X\in \tau .}$

2. Zjednotenie ľubovoľného počtu otvorených množín je otvorená množina, teda pre každé ${\displaystyle S\subseteq \tau }$:

   ${\displaystyle \bigcup _{Y\in S}Y\in \tau .}$

3. Prienik každých dvoch otvorených množín je otvorená množina, teda

   ${\displaystyle A\in \tau \ \land \ B\in \tau \Rightarrow A\cap B\in \tau .}$

Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.

Množina ${\displaystyle \tau }$ sa nazýva aj topológia na množine X, toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov topológia v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny X sa zvyčajne nazývajú body, podmnožiny X patriace do ${\displaystyle \tau }$ sa nazývajú otvorené množiny, každý komplement otvorenej množiny sa nazýva uzavretá množina.

Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v X nie je to isté ako ${\displaystyle \tau ^{C}}$. Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad ${\displaystyle \emptyset }$ alebo X, keďže sú komplementárne (pracuje sa s univerzom X) a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).

Použitím de Morganových zákonov je možné jednoduchým spôsobom odvodiť ekvivalentnú definíciu topologického priestoru, ktorá namiesto podmienok na otvorené množiny kladie podmienky na uzavreté množiny. Teda je možné povedať, že topologický priestor je usporiadaná dvojica ${\displaystyle (X,\tau )}$, kde X, ${\displaystyle \tau }$, otvorené a uzavreté množiny sú definované rovnako ako vyššie, a kde platí:

1. Prázdna množina aj množina X sú uzavreté.
2. Zjednotenie ľubovoľných dvoch uzavretých množín je uzavretá množina.
3. Prienik ľubovoľného počtu uzavretých množín je uzavretá množina.

Inou možnosťou definície topologického priestoru (ktorá je však ekvivalentná s klasickou definíciou) je definícia topologickej štruktúry pomocou sady axióm, s ktorou prišiel poľský matematik Kazimierz Kuratowski. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica ${\displaystyle (X,{\textrm {cl}})}$, kde X je množina a

${\displaystyle \operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$

je operátor uzáveru, pre ktorý sú splnené nasledujúce podmienky (Kuratowského axiómy):

1. Uzáver danej množiny A musí obsahovať celú množinu A, teda:

   ${\displaystyle A\subseteq {\textrm {cl}}(A).}$

2. Uzáver je idempotentný, teda platí

   ${\displaystyle \operatorname {cl} ({\textrm {cl}}(A))={\textrm {cl}}(A).}$

3. Uzáver zjednotenia je zjednotenie uzáverov, čiže:

   ${\displaystyle {\textrm {cl}}(A\cup B)={\textrm {cl}}(A)\cup {\textrm {cl}}(B).}$

4. Prázdna množina je sama o sebe uzavretá, čiže:

   ${\displaystyle {\textrm {cl}}(\emptyset )=\emptyset .}$

Ďalšou ekvivalentnou definíciou topologického priestoru, s ktorou prišiel Felix Hausdorff[3], je jeho definícia pomocou tzv. axióm susednosti. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$, kde X je množina a ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}_{x}\ |\ x\in X\}}$ je trieda množín ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$, kde každé ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$ je množina podmnožín X nazývaných okolie bodu ${\displaystyle x\in X}$, pričom platia nasledujúce podmienky (axiómy susednosti):

1. Každé okolie bodu x obsahuje bod x a X je okolím každého bodu x, teda:

   ${\displaystyle \forall x\in X\ \forall O\in {\mathcal {O}}_{x}:x\in O,\qquad \forall x\in X:X\in {\mathcal {O}}_{x}.}$

2. Ak nejaká množina ${\displaystyle V\subseteq X}$ obsahuje okolie bodu x, potom je sama okolím bodu x. Teda,

   ${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {P}}(X)\ \forall x\in X:(\exists O\in {\mathcal {P}}(x):O\in {\mathcal {O}}_{x}\ \land \ O\subseteq V)\Rightarrow (V\in {\mathcal {O}}_{x}).}$

3. Prienik ľubovoľných dvoch okolí bodu x je okolie bodu x:

   ${\displaystyle \forall x\in X\ \forall A,B\in {\mathcal {O}}_{x}:A\cap B\in {\mathcal {O}}_{x}.}$

4. Každé okolie bodu x obsahuje iné okolie bodu x, ktoré je okolím všetkých svojich bodov. Teda,

   ${\displaystyle \forall x\in X\ \forall O\in {\mathcal {O}}_{x}\ \exists O'\in {\mathcal {O}}_{x}\ \forall y\in O':O'\in {\mathcal {O}}_{y}.}$

1. Množina X = {1, 2, 3, 4} a na nej definovaná topológia ${\displaystyle \tau }$ = {{}, {1, 2, 3, 4}}, ktorá obsahuje jediné dve podmnožiny X, ktoré sú požadované definíciou, tvoria topologický priestor. Takáto topológia ${\displaystyle \tau }$ sa nazýva aj triviálna topológia alebo tiež antidiskrétna topológia[4].
2. Množina X = {1, 2, 3, 4} a ${\displaystyle \tau }$ = {{}, {2}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3}, {1,2,3,4}} tvoria topologický priestor.
3. Množina X = {1, 2, 3, 4} spoločne s topológiou ${\displaystyle \tau ={\mathcal {P}}(X)}$ (potenčná množina množiny X) tiež tvoria topologický priestor. Takto definovaná topológia ${\displaystyle \tau }$ sa nazýva diskrétna topológia.
4. Množina ${\displaystyle X=\mathbb {Z} }$ všetkých celých čísel a množina ${\displaystyle \tau }$ rovná zjednoteniu všetkých konečných podmnožín ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ a množiny ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ samotnej, netvoria topologický priestor, keďže napríklad zjednotenie všetkých konečných podmnožín celých čísel neobsahujúcich číslo 0 nie je konečná množina, ale nie je to ani množina ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Najjednoduchším príkladom topologického priestoru, ktorý nie je ani triviálny, ani diskrétny je tzv. Sierpińského priestor, pomenovaný podľa Wacława Sierpińského. Ide o topologický priestor na množine {0,1}, ktorého otvorené množiny sú

${\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\},}$

a ktorého uzavreté množiny sú

${\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}$

Jednoprvková množina {0} je uzavretá a nie otvorená, jednoprvková množina {1} je otvorená a nie uzavretá.

Hausdorffov priestor, pomenovaný podľa Felixa Hausdorffa, nazývaný aj separabilný priestor alebo T₂ priestor, je taký topologický priestor, v ktorom pre ľubovoľné dva body existuje dvojica disjunktných okolí. Každý metrický priestor je Hausdorffov priestor.

Množina ${\displaystyle V\subseteq X}$ sa nazýva okolím bodu ${\displaystyle x\in X}$ v topologickom priestore ${\displaystyle (X,\tau )}$, ak existuje množina ${\displaystyle U\in \tau }$ taká, že ${\displaystyle x\in U\subseteq V}$. Podľa toho, či je okolie V bodu x otvorená alebo uzavretá množina, nazýva sa V otvoreným alebo uzavretým okolím bodu x.

Zelenou vyfarbená plocha ilustruje množinu ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$, na ktorej je štandardným spôsobom definovaná topológia. Bod ${\displaystyle x\in S}$ patrí do vnútra množiny S, pretože existuje jeho okolie také, že je celé v S. Naopak, bod y do vnútra S nepatrí, keďže takéto okolie neexistuje. Bod y patrí do hranice množiny S.

Neformálne možno povedať, že vnútro množiny A tvoria práve všetky body z A, ktoré neležia "na jej kraji," ale "vnútri." Je však dôležité, že aj keď je takéto vysvetlenie intuitívne (napr. z klasickej topológie na množine ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), vo všeobecnosti je bez formálnej definície pomerne problematické rozhodnúť o tom, čo je kraj a čo vnútro množiny.

Formálne, vnútro množiny ${\displaystyle A\subseteq X}$ (označované int(A) alebo alebo A°) v topologickom priestore ${\displaystyle (X,\tau )}$ je množina všetkých bodov x z A, pre ktoré existuje okolie, ktoré je celé v A. Teda,

${\displaystyle \operatorname {int} (A)=\{x\in A\ |\ \exists U\in \tau :x\in U\subseteq A\}.}$

Uzáver množiny A, označovaný ${\displaystyle {\textrm {cl}}(A)}$ alebo ${\displaystyle {\bar {A}}}$, je najmenšia uzavretá množina B, pre ktorú platí ${\displaystyle A\subseteq B.}$ To je ekvivalentné s nasledujúcou formálnou definíciou: uzáver množiny A v topologickom priestore ${\displaystyle (X,\tau )}$ je množina všetkých bodov ${\displaystyle x\in X}$, ktoré nepatria do vnútra množiny ${\displaystyle X\setminus A.}$ Čiže,

${\displaystyle \operatorname {cl} (A)=\{x\in X\ |\ x\notin \operatorname {int} (X\setminus A)\}.}$

Ak rozpíšeme definíciu vnútra množiny a výsledný logický výraz vhodne upravíme, dostaneme:

${\displaystyle \operatorname {cl} (A)=\{x\in X\ |\ \forall U\in \tau :U\subseteq (X\setminus A)\Rightarrow x\notin U\}.}$

Táto definícia uzáveru predpokladá klasickú definíciu topologického priestoru. Zjavne, pokiaľ sa použije definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti, je uzáver definovaný len ako zobrazenie spĺňajúce stanovené axiómy.

Hranica množiny A v topologickom priestore ${\displaystyle (X,\tau )}$, označovaná bd(A) alebo ${\displaystyle \partial A}$, je množina všetkých bodov, ktoré patria do uzáveru množiny A, ale nepatria do jej vnútra. Teda,

${\displaystyle \operatorname {bd} (A)=\operatorname {cl} (A)\setminus \operatorname {int} (A).}$

Množina ${\displaystyle A\subseteq X}$ sa nazýva hustá v topologickom priestore ${\displaystyle (X,\tau )}$, ak jej uzáver je celá množina X (komplementárna množina neobsahuje žiadne vnútorné body), čiže ak platí množinový vzťah

${\displaystyle \operatorname {cl} (A)=X.}$

Množina ${\displaystyle B\subseteq X}$ sa nazýva riedka v topologickom priestore ${\displaystyle (X,\tau )}$, ak vnútro jej uzáveru je prázdna množina, čiže ak platí

${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {cl} (B))=\emptyset .}$

Pre definíciu pojmov ako spojité zobrazenie, či limita, je kľúčový pojem hromadného bodu. Bod ${\displaystyle x\in X}$ sa nazýva hromadný bod množiny ${\displaystyle A\subseteq X}$ v topologickom priestore ${\displaystyle (X,\tau )}$, ak každé rýdze okolie bodu x (t. j. okolie bodu x bez bodu x) má neprázdny prienik s množinou A.

Bod ${\displaystyle x\in A}$ sa nazýva izolovaný bod množiny ${\displaystyle A\subseteq X}$ v topologickom priestore ${\displaystyle (X,\tau )}$, ak existuje okolie ${\displaystyle U\in \tau ,x\in U}$ také, že pre zodpovedajúce rýdze okolie platí

${\displaystyle (U\setminus \{x\})\cap A=\emptyset .}$

Báza topologického priestoru ${\displaystyle (X,\tau )}$ je taká množina ${\displaystyle \tau '}$ otvorených množín z ${\displaystyle \tau }$, že všetky otvorené množiny (prvky ${\displaystyle \tau }$) sa dajú zapísať ako zjednotenie množín z bázy ${\displaystyle \tau '}$. Čiže množina ${\displaystyle \tau '\subseteq \tau }$ je báza topologického priestoru ${\displaystyle (X,\tau )}$ práve vtedy, keď platí

${\displaystyle \forall U\in \tau \ \exists T\subseteq \tau ':U=\bigcup _{V\in T}V.}$

Báza topologického priestoru ${\displaystyle (X,\tau )}$ sa niekedy nazýva aj báza topológie ${\displaystyle \tau }$.

Homeomorfizmus sa definuje ako spojité bijektívne zobrazenie medzi topologickými priestormi ${\displaystyle (X,\tau )}$ a ${\displaystyle (Y,\tau ')}$, ktoré má spojité inverzné zobrazenie. Homeomorfizmus je izomorfizmus v kategórii topologických priestorov, teda je to zobrazenie zachovávajúce všetky topologické vlastnosti daného priestoru. Ide teda o druh topologickej ekvivalencie.