Mocninová funkcia

${\displaystyle {n\in \mathbb {R} -\{0\}},a\in \mathbb {Z} ^{+}}$
${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;x\mapsto f(x)=n\cdot x^{2a}}$

Vlastnosť	Rozbor	Graf
definičný obor a obor hodnôt	${\displaystyle {D(f)}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {H(f)}=\mathbb {R} _{0}^{+}}$
prostá funkcia	Funkcia nie je prostá, pretože neplatí nasledovná implikácia pre ľubovoľnú dvojicu čísel ${\displaystyle {[-a;a]}}$: ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow n\cdot x_{1}^{2a}\neq n\cdot x_{2}^{2a}}$
monotónnosť	Ak ${\displaystyle n}$ je kladné, potom funkcia je klesajúca na intervale ${\displaystyle (-\infty ;0)}$ a rastúca na intervale ${\displaystyle (0;+\infty )}$, v opačnom prípade je funkcia rastúca na intervale ${\displaystyle (-\infty ;0)}$ a klesajúca na intervale ${\displaystyle (0;+\infty )}$.
ohraničenosť, párnosť, nepárnosť	Ak ${\displaystyle {n}}$ je kladné, potom je funkcia zdola ohraničená hodnotou 0. V opačnom prípade je zhora ohraničená hodnotou 0. V tejto hodnote nadobúda aj globálny extrém. Funkcia je párna a nie je nepárna, pretože platí ${\displaystyle n\cdot (-x)^{2a}=n\cdot x^{2a}}$
periodická a inverzná funkcia	Funkcia nie je periodická so žiadnou periódou. Funkcia nie je prostá, preto neexistuje inverzná funkcia pre celý definičný obor tejto funkcie. Na podmnožine definičného oboru, na ktorej je prostá existuje inverzná funkcia ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{2a}]{n\cdot x}}}$
spojitosť a diferencovateľnosť	Funkcia je spojitá a diferencovateľná na celom obore reálnych čísel.

${\displaystyle n\in \mathbb {R} -\{0\},a\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}$
${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;x\mapsto f(x)=n\cdot x^{2a+1}}$

Vlastnosť	Rozbor	Graf
definičný obor a obor hodnôt	${\displaystyle {D(f)}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {H(f)}=\mathbb {R} }$
prostá funkcia	Funkcia je prostá.
monotónnosť	Ak ${\displaystyle n}$ je kladné, potom funkcia je rastúca na celom definičnom obore, v opačnom prípade je funkcia klesajúca na celom definičnom obore.
ohraničenosť, párnosť, nepárnosť	Funkcia nie je ohraničená zdola ani zhora. Neexistujú teda ani globálne extrémy. Funkcia je nepárna.
periodická a inverzná funkcia	Funkcia nie je periodická so žiadnou periódou. Funkcia je prostá, preto existuje inverzná funkcia pre celý definičný obor tejto funkcie ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{2a+1}]{n\cdot x}}}$
spojitosť a diferencovateľnosť	Funkcia je nespojitá (v bode x=0)

${\displaystyle n\in \mathbb {R} -\{0\},a\in \mathbb {Z} ^{+}}$
${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;x\mapsto f(x)=n\cdot x^{-2a}}$

Vlastnosť	Rozbor	Graf
definičný obor a obor hodnôt	${\displaystyle {D(f)}=\mathbb {R} -\{0\}}$ ${\displaystyle {H(f)}=\mathbb {R} ^{+}}$
prostá funkcia	Funkcia nie je prostá, pretože neplatí nasledovná implikácia pre ľubovoľnú dvojicu čísel ${\displaystyle [-a;a]}$: ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow n\cdot x_{1}^{-2a}\neq n\cdot x_{2}^{-2a}}$
monotónnosť	Ak ${\displaystyle n}$ je kladné, potom funkcia je rastúca na intervale ${\displaystyle (-\infty ;0)}$ a klesajúca na intervale ${\displaystyle (0;+\infty )}$, v opačnom prípade je funkcia klesajúca na intervale ${\displaystyle (-\infty ;0)}$ a rastúca na intervale ${\displaystyle (0;+\infty )}$.
ohraničenosť, párnosť, nepárnosť	Ak ${\displaystyle n}$ je kladné, potom je funkcia zdola ohraničená hodnotou 0. V opačnom prípade je zhora ohraničená hodnotou 0. Funkcia je párna a nie je nepárna, pretože platí ${\displaystyle n(-x)^{-2a}=n\cdot x^{-2a}}$
periodická a inverzná funkcia	Funkcia nie je periodická so žiadnou periódou. Funkcia nie je prostá, preto neexistuje inverzná funkcia pre celý definičný obor tejto funkcie. Na podmnožine definičného oboru, na ktorej je prostá existuje inverzná funkcia ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{2a}]{\frac {n}{x}}}}$
spojitosť a diferencovateľnosť	Funkcia nie je spojitá v bode ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle n\in \mathbb {R} -\{0\},a\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}$
${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;x\mapsto f(x)=n\cdot x^{-2a-1}}$

Vlastnosť	Rozbor	Graf
definičný obor a obor hodnôt	${\displaystyle {D(f)}=\mathbb {R} -\{0\}}$ ${\displaystyle {H(f)}=\mathbb {R} -\{0\}}$
prostá funkcia	Funkcia je prostá.
monotónnosť	Ak ${\displaystyle n}$ je kladné, potom funkcia je klesajúca na intervale ${\displaystyle (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )}$, v opačnom prípade je funkcia na danom intervale rastúca.
ohraničenosť, párnosť, nepárnosť	Funkcia nie je ohraničená zdola ani zhora. Neexistujú teda ani globálne extrémy. Funkcia je nepárna.
periodická a inverzná funkcia	Funkcia nie je periodická so žiadnou periódou. Funkcia je prostá, preto existuje inverzná funkcia pre celý definičný obor tejto funkcie ${\displaystyle {f}^{-1}(x)={\sqrt[{2a+1}]{\frac {n}{x}}}}$
spojitosť a diferencovateľnosť	Funkcia nie je spojitá v bode ${\displaystyle {x=0}}$.

Funkcia má dve asymptoty. Prvá - vodorovná je os ${\displaystyle x}$ a druhá - zvislá je os ${\displaystyle y}$

Mocninovým radom rozumieme rad funkcií v tvare

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

respektíve

${\displaystyle a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots +a_{n}(x-x_{0})^{n}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$

kde ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots \in \mathbb {R} }$.[3]

Ak mocninový rad konverguje v bode ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$, potom absolútne konverguje pre všetky ${\displaystyle x\in (-|x_{0}|;|x_{0}|)}$, pričom najväčšiu vzdialenosť bodu ${\displaystyle x_{0}}$ od počiatku (píšeme ${\displaystyle |x_{0}|}$) nazývame polomerom konvergencie ${\displaystyle R}$. Vždy platí, že ${\displaystyle R\geq 0}$. K určeniu polomeru konvergencie sa používajú klasické metódy pre konvergenciu nekonečných číselných radov. Ak je polomer konvergencie nenulový, potom je súčet mocninového radu spojitá funkcia v ${\displaystyle (-R;R)}$.

Ak platí, že pre ľubovoľné ${\displaystyle x_{0}\in (-R;R)}$ konverguje rad ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$, potom taktiež konverguje rad ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}x^{n})'}$. Hovoríme, že mocninový rad sa dá derivovať člen po člene.

Taktiež platí, že

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{a}^{b}a_{n}x^{n}=\int _{a}^{b}a_{0}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}a_{1}x\,\mathrm {d} x+...}$

na ľubovoľnom intervale ${\displaystyle \langle a;b\rangle \subset (-R;R)}$ a hovoríme, že mocninový rad možno integrovať člen po člene.

Všeobecné odvodenie sa uskutoční výpočtom vyššie uvedenej limity

${\displaystyle {\begin{array}{rl}(nx^{a})':=&\lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {n(x+h)^{a}-n\cdot x^{a}}{h}}=\lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {n\cdot \sum \limits _{i=0}^{a}{a \choose i}x^{a-i}\cdot h^{i}-n\cdot x^{a}}{h}}=\lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {n\cdot (x^{a}+a\cdot x^{a-1}h+\cdots +h^{a})-n\cdot x^{a}}{h}}=\\=&\lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {h\cdot (n\cdot a\cdot x^{a-1}+\cdots +n\cdot h^{a-1})}{h}}=n\cdot a\cdot x^{a-1}\end{array}}}$

Pre mocninové funkcie platí

${\displaystyle F(x)=n\int x^{a}\,{\textrm {d}}x={\frac {n\cdot x^{a+1}}{a+1}}+C;\;a\neq -1}$

Tento integrál sa nazýva aj tabuľkový integrál. Primitívna funkcia k mocninovej funkcii je od nej o jeden stupeň vyššia (hodnota mocniny sa zvýši o jeden stupeň). To znamená, že primitívna funkcia k lineárnej je kvadratická, ku kvadratickej je kubická atď. Špeciálnym prípadom je nepriama úmernosť, kde primitívna funkcia vyzerá nasledovne
${\displaystyle F(x)=n\int {\frac {1}{x}}\,{\textrm {d}}x={\ln |x|}^{n}+C;\;x\neq 0}$

Nech ${\displaystyle {U}=\langle \alpha ;\beta \rangle }$. Potom určitým integrálom mocninovej funkcie rozumieme číslo

${\displaystyle n\int _{U}x^{a}\,{\textrm {d}}x={\frac {n(\beta ^{a+1}-\alpha ^{a+1})}{a+1}}}$

V prípade nepriamej úmernosti

${\displaystyle n\int _{U}{\frac {1}{x}}\,{\textrm {d}}x=\ln \left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|^{n}}$

Jednoduchou, ale významnou fyzikálnou aplikáciou mocninových funkcií je opis dráhy telesa pri voľnom páde. Tento jav popisuje funkcia

${\displaystyle s(t)={\frac {1}{2}}gt^{2};\;t\geq 0}$

kde ${\displaystyle g}$ je gravitačná konštanta. Podľa druhu mocninovej funkcie ide o kvadratickú funkciu, kde ako premenná vystupuje čas - ${\displaystyle t}$.[4]

Kocka s dĺžkou strany a

V matematike by sa dala aplikácia hľadať pri výpočtoch obsahov a objemov. Aby vznikla funkcia jednej premennej, je možné opísať závislosť obsahu štvorca od veľkosti jeho strany. Tento jav sa dá popísať funkciou obsahu štvorca

${\displaystyle S(a)=a^{2};\;a\geq 0}$

Ide o kvadratickú funkciu, kde premenná je ${\displaystyle a}$ a vyjadruje dĺžku strany štvorca. Iný príklad by bol na výpočet obsahu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Táto funkcia je

${\displaystyle S(v)={\frac {1}{2}}v^{2};\;v\geq 0}$

Aplikácia kubickej funkcie by sa dala hľadať pri výpočte objemu kocky a táto funkcia potom vyzerá nasledovne

${\displaystyle V(a)=a^{3};\;a\geq 0}$

Podobne ako pri trojuholníku, z funkcie objemu kocky by sa dala vyjadriť funkcia objemu ihlana. Zovšeobecnením predchádzajúceho je možné zistiť, že všetky matematické vzorce pre výpočet nejakej kvantity, sú závislé od hodnôt, ktoré do vzťahu dosadzujeme. Všetky tieto predpisy sú teda funkcie a hodnoty, ktoré sa do nich dosadzujú, sú chápané ako premenné.
Aplikácie nepriamej úmernosti možno hľadať v praktických situáciách. Nepriama úmernosť vyjadruje taký vzťah dvoch veličín, že nárast jednej spôsobí pokles druhej a opačne. Všeobecne sa problémové úlohy nepriamej úmernosti riešia cez tzv. trojčlenku. Jednoduchý príklad objasňuje základný princíp nepriamej úmernosti: Auto prejde pri rýchlosti 100 km/h určitú vzdialenosť za 30 minút. Ako dlho by autu trvala rovnaká cesta, ale pri rýchlosti 120 km/h? Zostavením trojčlenky

${\displaystyle \uparrow {\begin{array}{ccc}100&\cdots &30\\120&\cdots &y\\120:100&=&30:y\end{array}}\downarrow }$

Výpočtom danej rovnice dostávame výsledok, že auto prejde pri rýchlosti 120 km/h danú vzdialenosť za 25 minút. Na trojčlenku sa dá pozrieť aj všeobecnejšie. Ak by sme potrebovali opakovať ten istý algoritmus s inou rýchlosťou, potom treba zopakovať celý výpočet trojčlenky. Jednoduchým odvodením všeobecného vzťahu je možné vyhnúť sa počítaniu cez trojčlenku a chápať zápis ako funkciu:

${\displaystyle \uparrow {\begin{array}{ccc}100&\cdots &30\\x&\cdots &f(x)\\x:100&=&30:f(x)\end{array}}\downarrow }$

Úpravami získame funkciu

${\displaystyle f(x)={\frac {3000}{x}}}$

kde za premennú ${\displaystyle x}$ dosadzujeme konkrétnu rýchlosť a získame tak hodnotu ${\displaystyle f(x)}$, ktorá vyjadruje počítaný čas. Z matematického hľadiska ide o mocninovú funkciu - nepriamu úmernosť a číslo 3000 nazýva koeficient nepriamej úmernosti ${\displaystyle k}$.