Diskriminant

Pro kvadratickou rovnici ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ (kde ${\displaystyle a\neq 0}$) je diskriminant ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$.

Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:

• Pokud ${\displaystyle D>0}$, pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$.
• Pokud ${\displaystyle D=0}$, pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$.
• Pokud ${\displaystyle D<0}$, pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}}$.

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: ${\displaystyle ax^{2}+c=0}$ (kde ${\displaystyle a,c\neq 0}$), je ${\displaystyle D_{r}=-4ac}$; pokud je kladný (liší se znaménko ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle c}$), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: ${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}}$.

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem: ${\displaystyle x^{2}+bx+c=0}$, je ${\displaystyle D_{n}=b^{2}-4c}$.

Diskriminant triviální kvadratické rovnice ${\displaystyle ax^{2}=0}$ (kde ${\displaystyle a\neq 0}$) je roven ${\displaystyle D=0}$.

U kubické rovnice ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ (kde ${\displaystyle a\neq 0}$) je diskriminant ${\displaystyle D_{3}=a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}}$.

Lze zjednodušit na ${\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}$ (pomocí Viètových vzorců). S reálnými keoficienty platí:

• Tři různé reálné kořeny ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ pro: ${\textstyle D>0}$

• Alespoň dva stejné kořeny ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ze tří reálných pro: ${\textstyle D=0}$
• Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro ${\displaystyle D<0}$.

Diskriminantem polynomu ${\displaystyle n}$−tého stupně s kořeny ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ rozumíme výraz ${\displaystyle D_{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2}.}$

Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz Vandermondův determinant):

${\displaystyle D_{n}=a_{n}^{2n-2}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}\dotsm (x_{2}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{4})^{2}\dotsm (x_{3}-x_{4})^{2}\dotsm (x_{n-1}-x_{n})^{2}}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Diskriminante na německé Wikipedii.

• Kvadratická rovnice
• Kubická rovnice
• Vandermondova matice

• Diskriminant v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Řešené příklady
• Kubická rovnice