Kardioida

Kardioida (z řeckého καρδία – srdce) neboli srdcovka je algebraická rovinná křivka 4. stupně (kvartika). Patří mezi kotálnice (cykloidy) a lze ji sestrojit jako trasu pevně daného bodu kružnice, která se kotálí kolem kružnice o stejném poloměru. Zároveň patří mezi konchoidy a lze ji konstruovat tak, že se na kružnici zvolí bod a na všech sečnách procházejících tímto bodem se vezmou body vzdálené od druhého průsečíku právě o poloměr řečené kružnice. Také ji lze získat jako obraz paraboly při kruhové inverzi.

Vznik srdcovky kotálením

Srdcovka a parabola navzájem zobrazené kruhovou inverzí

Pojmenoval ji v roce 1741 italský matematik Giovanni Salvemini.

Srdcovka je součástí obrazce ve fraktálu Mandelbrotovy množiny.

Rovnice

Kardioida v kartézském souřadnicovém systému s vyznačenými konstrukčními kružnicemi

Kardioidu lze popsat následujícím parametrickým vyjádřením v kartézských souřadnicích (a je poloměr kružnic při kotálení, počátek je v středu nehybné kružnice):

x=a(2\cos t-\cos 2t-1),\,

y=a(2\sin t-\sin 2t).\,

V komplexní rovině tomu odpovídá parametrizace

z=a(2e^{it}-e^{2it}).\,

Příslušná obecná rovnice v kartézských souřadnicích je

(x^{2}+y^{2}-a^{2})^{2}-4a^{2}((x-a)^{2}+y^{2})=0,

respektive v komplexní rovině

(z{\bar {z}}-a^{2})^{2}-4a^{2}(z-a)({\bar {z}}-a)=0

.

Další možností je zápis v polárních souřadnicích:

r=2a(1-\cos \theta ).

Míry

Délka srdcovky je rovna

l=16a

a obsah její vnitřní oblasti

S=6\pi a^{2}

.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cardioid na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu kardioida na Wikimedia Commons
Encyklopedické heslo Kardioida v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
Slovníkové heslo kardioida ve Wikislovníku
Kardioida v encyklopedii MathWorld (anglicky)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.