Pseudoprvočíslo

Malá Fermatova věta popisuje rovnost platnou pro všechna prvočísla, splňují ji však i některá čísla složená, která jsou proto označována jako pseudoprvočísla. Fermatovým pseudoprvočíslem se tedy nazývá takové složené číslo ${\displaystyle n}$, které splňuje (pro některé s ním nesoudělné celé číslo ${\displaystyle a}$) vztah:

${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$

Příkladem pseudoprvočísla při základu 5 je číslo 4, neboť

${\displaystyle 5^{4-1}=125}$, přičemž ${\displaystyle 125\equiv 1{\pmod {4}}}$.

Existují dokonce čísla, u kterých tato rovnost platí pro libovolný základ ${\displaystyle a}$. Taková čísla se nazývají Carmichaelova čísla. Několik prvních Carmichaelových čísel je 561, 1105, 1729, 2465, 2821, … (sekvence A002997 v OEIS). Je dokázáno, že Carmichaelových čísel existuje nekonečně mnoho.[1]

Číslo, které je Fermatovým pseudoprvočíslem při základu 2, se označuje jako Pouletovo číslo.[2] Prvních několik Pouletových čísel je 341, 561, 645, 1105, 1387, … (sekvence A001567 v OEIS).

Složené číslo ${\displaystyle n=d\cdot 2^{s}+1}$ se označuje jako silné pseudoprvočíslo v (s ním nesoudělném) základu ${\displaystyle a}$, pokud platí alespoň jedna z následujících dvou podmínek:

• ${\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {n}}}$,
• ${\displaystyle a^{d\cdot 2^{r}}\equiv -1{\pmod {n}}\qquad \mathrm {pro~n{\check {e}}kter{\acute {e}}~} 0\leq r\leq s-1}$.

Jako Eulerovo–Jacobiho pseudoprvočíslo o základu ${\displaystyle a}$ se označuje liché složené číslo ${\displaystyle n}$ (nesoudělné s ${\displaystyle a}$), pro jehož Jacobiho symbol ${\displaystyle ({\tfrac {a}{n}})}$ platí:

${\displaystyle ({\tfrac {a}{n}})\equiv a^{\frac {n-1}{2}}{\pmod {n}}}$

Další pseudoprvočísla lze definovat na základě libovolného nedokonalého testu prvočíselnosti. Existují proto mimo jiné:

• Eliptické pseudoprvočíslo
• Eulerovo pseudoprvočíslo
• Fibonacciho pseudoprvočíslo
• Frobeniovo pseudoprvočíslo
• Lucasovo pseudoprvočíslo
• Perrinovo pseudoprvočíslo
• Somerovo-Lucasovo pseudoprvočíslo