Simplexový algoritmus

Úloha lineárního programování je taková úloha, která hledá extrém zadané kriteriální neboli účelové funkce při zadaných omezujících podmínkách. V ekonomických úlohách jsou přidány podmínky nezápornosti proměnných modelů z důvodu interpretace proměnných.

Mějme úlohu lineárního programování ve standardním tvaru:

Maximalizujte účelovou funkci z${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {c} ^{T}\mathbf {x} }$

vůči omezením ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} \leq \mathbf {b} ,\,\mathbf {x} \geq 0}$

• A je matice strukturních koeficientů o velikosti m řádků x n sloupců (jinými slovy máme m omezení, každé max. n proměnných),
• vektor x je vektor proměnných modelu s n složkami,
• vektor b je vektor omezení nebo také vektor pravých stran a má m složek.
• ${\displaystyle {c}^{T}}$ je transponovaný vektor cenových koeficientů

Algoritmus simplexové metody

Následující popis simplexového algoritmu neřeší speciální případy. Těmi jsou zejména:

• Neomezenost úlohy
• Degenerovanost úlohy
• Perturbace úlohy
• Nepřípustnost úlohy

1. Start – přepíšeme na ekvivalentní pomocnou úlohu

Zavedeme nové proměnné, tzv. přídatné proměnné, které vyrovnají omezující podmínky z nerovnic na rovnice. Přídatné proměnné definujeme následujícím způsobem:

${\displaystyle \mathbf {x} _{n+i}=\mathbf {b} _{i}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{ij}\mathbf {x} _{j}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{n+i}\geq 0,i=1...m}$

Úlohu přepíšeme na tzv. ekvivalentní soustavu rovnic ve tvaru:

Maximalizujte ${\displaystyle \mathbf {d} ^{T}x}$ vzhledem k omezením:

${\displaystyle \mathbf {Bx=b} }$

${\displaystyle \mathbf {x} \geq 0}$

kde:

${\displaystyle \mathbf {B} =(\mathbf {A} |\mathbf {I} ),\mathbf {I} }$ – je jednotková matice (identity)

${\displaystyle \mathbf {d} =(\mathbf {c} |\mathbf {0} )}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {x_{1}x_{2}...x_{n}|x_{n+1}...x_{n+m}} )}$

Při výpočtu je vhodné používat zápis v tzv. simplexové tabulce, která má následující výchozí tvar:

${\displaystyle A\,\!}$	${\displaystyle I\,\!}$	${\displaystyle b\,\!}$
${\displaystyle -c^{T}\,\!}$	${\displaystyle 0\,\!}$	${\displaystyle 0\,\!}$

kde:

A je matice strukturních koeficientů velikosti m x n

I je jednotková matice řádu m x m

b je vektor pravých stran o velikosti m x 1

c^T je transponovaný vektor cenových koeficientů

5. Transformace tabulky

Tabulku upravíme pomocí Gaussovy eliminační metody, kdy pro klíčový řádek platí:

• ${\displaystyle a_{qk}^{new}=1}$
• ${\displaystyle a_{qj}^{new}={\frac {a_{qj}}{a_{qk}}}}$
• ${\displaystyle b_{i}^{new}={\frac {b_{i}}{a_{qk}}}}$

a ostatní řádky upravíme tak, aby v klíčovém řádku vznikl jednotkový vektor s jedničkou v klíčovém řádku. Gaussova eliminace se týká i vektoru pravé strany a řádku účelové funkce v simplexové tabulce.

Po transformaci pokračujeme na test optima.

Tabulka se po transformaci mění výpočtem na následující tvar:

${\displaystyle B_{s}^{-1}A\,\!}$	${\displaystyle B_{s}^{-1}\,\!}$	${\displaystyle B_{s}^{-1}b\,\!}$
${\displaystyle c_{B}^{T}B_{s}^{-1}A-c^{T}\,\!}$	${\displaystyle c_{B}^{T}B_{s}^{-1}\,\!}$	${\displaystyle c_{B}^{T}B_{s}^{-1}b\,\!}$

kde

${\displaystyle B_{s}^{-1}\,\!}$ je inverzní matice báze

${\displaystyle c_{B}^{T}\,\!}$ je transponovaný vektor cen bazických proměnných

Maximalizujte funkci:

${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$

vůči omezením

${\displaystyle -\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}\leq 1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leq 3}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}\leq 2}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\geq 0}$

1. Zavedeme nové proměnné a zapíšeme do tabulky:

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}=1-(-1\mathbf {x} _{1}+1\mathbf {x} _{2})}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{4}=3-(1\mathbf {x} _{1}+0\mathbf {x} _{2})}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{5}=2-(0\mathbf {x} _{1}+1\mathbf {x} _{2})}$

${\displaystyle z'=\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$

Po úpravě:

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}=1+1\mathbf {x} _{1}-1\mathbf {x} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{4}=3-1\mathbf {x} _{1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{5}=2-1\mathbf {x} _{2}}$

${\displaystyle z'=\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$

2. Hledáme kandidáty do báze:

1. Vezměme si např. x₁ – mohli bychom i x₂ (obě proměnné mají v účelové funkci kladné a v tabulce záporné znaménko), ale je to pomalejší.

2. Jediná rovnice, která nám klade na x₁ omezení je druhá rovnice. Podle ní je x₁ maximálně 3. (Kdybychom zvolili x₂, nejpřísnější omezení by plynulo z první rovnice: x₂ je max. 1)

3. vyjádříme x₁ z druhé rovnice, dosadíme x₁ do zbývajících rovnic a do účelové funkce. Dopracujeme se k následující soustavě:

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=3-\mathbf {x} _{4}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}=4-\mathbf {x} _{4}-\mathbf {x} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{5}=2-\mathbf {x} _{2}}$

${\displaystyle z'=3-\mathbf {x} _{4}+\mathbf {x} _{2}}$

4. Nyní nám již zbývá jediná proměnná s kladným znaménkem v účelové funkci a současně se záporným znaménkem v rovnicích z tabulky – je to x₂

5. Postupujme obdobně jako před chvílí. Nejpřísnější omezení klade poslední rovnice – x₂ je podle ní max. dva. Vyjádřeme tedy x₂ z poslední rovnice a dosaďme do účelové funkce a ostatních rovnic:

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=2-\mathbf {x} _{5}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}=2-\mathbf {x} _{4}+\mathbf {x} _{5}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=3-\mathbf {x} _{4}}$

${\displaystyle z'=5-\mathbf {x} _{4}-\mathbf {x} _{5}}$

6. Další analogická úprava není možná – účelová funkce nemůže být dále maximalizována. Víme (předpoklady úlohy), že x₄ ani x₅ není menší, než nula. Maximální hodnota účelové funkce z’ je menší, nejvýše rovna 5 pro vektor (x₁,…,x₅) = (3,2,2,0,0).

• Lagová M., Jablonský J., Lineární modely, Praha, 2004, nakladatelství Oeconomica, ISBN 80-245-0816-8
• Jablonský J., Programy pro matematické modelování, Praha, 2007, nakladatelství Oeconomica, ISBN 978-80-245-1178-8
• Jablonský J., Operační výzkum – kvantitativní metody pro ekonomické rozhodování, Praha, 2002, Professional Publishing, ISBN 80-86419-42-8

• Aplet využívající simplexového algoritmu