Přirozené číslo

Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem N (nebo zdvojeným písmenem ${\displaystyle \mathbb {N} }$).

Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:

• pro nezáporná celá čísla (včetně nuly):
  • N⁰, resp. ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$, případně N₀, resp. ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, nebo
  • Z⁺₀, resp. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}$;
• pro kladná celá čísla (bez nuly):
  • N⁺, resp. ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$, nebo
  • Z⁺, resp. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$.

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika):

• Existuje číslo 0.
• Každé přirozené číslo a má následníka, označeného jako S(a).
• Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0.
• Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud a ≠ b, pak S(a) ≠ S(b).
• Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce.)

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v axiomatické teorii množin je následující postup:

• Definuje se 0 = {}.
• Definuje se S(a) = a ∪ {a} pro všechna a.
• Množina přirozených čísel se pak definuje jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.

V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:

${\displaystyle 0=\{\}}$

${\displaystyle 1=\{0\}=\{\{\}\}}$

${\displaystyle 2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\{\},\{\{\}\}\}}$

${\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{0,\{0\},\{0,\{0\}\}\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}}$

…atd.

Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo n vyjadřuje mohutnost množiny o právě n prvcích.

• Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice).
• Na přirozených číslech lze definovat operaci sčítání takto: a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b) pro všechna a, b. Tím se stane (N, +) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 0. Pokud definujeme S(0) = 1, je S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1, tedy následníkem čísla a je číslo a + 1. Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla.
• Obdobně lze s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: a * 0 = 0, a * (b + 1) = (a * b) + a. Tím se stane (N, *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). (N, +, *) je tedy komutativním polookruhem.
• Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy a ≤ b právě tehdy, když existuje přirozené číslo c tak, že a + c = b. Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, takže každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek.
• Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla a, b, kde b ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla r a q, že platí a = bq + r a zároveň r < b. Číslu r pak říkáme zbytek po dělení čísla a číslem b, číslo q je celočíselný podíl a a b. Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.

• Celé číslo
• Racionální číslo
• Reálné číslo
• Iracionální číslo

• Obrázky, zvuky či videa k tématu přirozené číslo na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo přirozené číslo ve Wikislovníku
• http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html Archivováno 23. 2. 2018 na Wayback Machine (na OEIS.org) (anglicky)
• Natural Number -- from Wolfram MathWorld (anglicky)