Hornerovo schéma

Ačkoli byl algoritmus pojmenován po Williamu Georgi Hornerovi, který ho poprvé popsal v roce 1819,[1] byl znám již Isaacu Newtonovi (1669) a dokonce již ve 13. století čínskému matematikovi Ch'in Chiu-Shao.

Nechť je dán monický polynom (tzn. koeficient nejvyššího členu je roven 1)

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

kde ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ jsou reálná čísla. Cílem je zjistit hodnotu tohoto polynomu pro jednu konkrétní hodnotu ${\displaystyle x\,\!}$, kterou označíme ${\displaystyle x_{0}\,\!}$.

Klíčovým bodem k pochopení toho, jak Hornerovo schéma funguje, je nahlédnutí platnosti následující rovnosti

${\displaystyle p(x)=a_{0}+x(a_{1}+x(a_{2}+\cdots +x(a_{n-1}+a_{n}x)))}$

Že tato rovnost platí, je snadno vidět postupným roznásobením všech závorek.

Chceme-li nyní určit hodnotu ${\displaystyle p(x_{0})}$, budeme ji počítat postupně „od vnitřku“ závorek. Tj. postupně vypočteme hodnoty následujících ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle b_{n}\,\!}$	${\displaystyle$ :=\,\!}	${\displaystyle a_{n}\,\!}$
${\displaystyle b_{n-1}\,\!}$	${\displaystyle$ :=\,\!}	${\displaystyle a_{n-1}+b_{n}x_{0}\,\!}$
	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle b_{0}\,\!}$	${\displaystyle$ :=\,\!}	${\displaystyle a_{0}+b_{1}x_{0}\,\!}$

Pak ${\displaystyle b_{0}\,\!}$ je přesně hodnota ${\displaystyle p(x_{0})\,\!}$, neboť

${\displaystyle p(x)=a_{0}+x(a_{1}+x(a_{2}+\cdots x(a_{n-1}+a_{n}x)\dots ))}$

a postupným dosazováním ${\displaystyle b_{i}}$ dostaneme

${\displaystyle p(x_{0})\,\!}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+\cdots x_{0}(a_{n-1}+b_{n}x_{0})\dots ))}$
	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+\cdots x_{0}(b_{n-1})\dots ))}$
	${\displaystyle \vdots }$
	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle a_{0}+x_{0}(b_{1})\,\!}$
	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle b_{0}\,\!}$

Hornerovo schéma se často používá k převádění čísel mezi jednotlivými číselnými soustavami. V tomto případě se za x volí základ první číselné soustavy a koeficienty a_i reprezentují jednotlivé číslice zápisu daného čísla v této soustavě. Vyhodnocením vzniklého polynomu dosazením základu první číselné soustavy za x dostaneme hodnotu daného čísla v té soustavě, v níž provádíme výpočet.

Hornerovo schéma lze užít i je-li x matice. V tom případě je rozdíl efektivity Hornerova schématu v porovnání s běžnou metodou výpočtu ještě výraznější než pro x číslo.

Vyhodnocování polynomu stupně n klasickou metodou (prosté dosazení za x a vyhodonocování jednotlivých členů samostatně) vyžaduje provedení nejvýše n sečtení a (n² + n)/2 vynásobení. Budeme-li vyhodnocovat mocniny x iterační metodou všechny najednou, dostaneme se na n sečtení a 2n + 1 vynásobení. Paměťový prostor potřebný pro vyhodnocení polynomu stupně n v bodě x majícím b bitů je přibližně 2nb (délka prostoru v němž je uložen postupně vyčíslovaný polynom se s blížícím se koncem výpočtu blíží k nb (což je přibližně délka xⁿ) a další délka nb je nutná na ukládání postupných iterací xⁱ).

Naproti tomu Hornerovo schéma potřebuje pouze n násobení a n sčítání a paměťový prostor pouhých nb bitů.