Kubická rovnice

Diskriminant vypočítáme podle vztahu ${\displaystyle D=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}}$ Mohou nastat tři případy:

• D = 0, rovnice má buď jeden trojnásobný reálný kořen nebo jeden dvojnásobný a jeden jednoduchý reálný kořen
• D > 0, rovnice má tři reálné kořeny
• D < 0, rovnice má jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny

Obecné řešení kubické rovnice se dá najít buď pomocí Cardanových vzorců, anebo dvojí substitucí podle Thomase Harriota. Harriotova metoda je následující:

Rovnici nejprve vydělíme koeficientem u třetí mocniny, čímž ji převedeme na tvar

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.}$

Substitucí ${\displaystyle x=t-a/3}$ odstraníme kvadratický člen, a tím dostaneme rovnici typu

${\displaystyle t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.}$

Tuto rovnici dále převedeme na kvadratickou rovnici substitucí ${\displaystyle t=y-{p \over 3y}}$ a vynásobením obou stran ${\displaystyle y^{3}}$. Po úpravách dostaneme rovnici

${\displaystyle y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0}$,

což je kvadratická rovnice vůči ${\displaystyle y^{3}}$. Po nalezení ${\displaystyle y}$ zpětně dosadíme do substitučních rovnic, až dojdeme k původnímu ${\displaystyle x}$. Podrobnější postup je popsán v článku Cardanovy vzorce, jelikož tato kvadratická rovnice se tam vyskytuje rovněž, i když se k ní dospěje jiným způsobem.

Některé druhy kubické rovnice se dají řešit i jednodušeji než Harriotovou substitucí nebo Cardanovými vzorci.

Pro kořeny kubické rovnice a její koeficienty platí následující vztahy:
${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$

• Lineární rovnice
• Kvadratická rovnice
• Binomická rovnice
• Cardanovy vzorce
• Viètovy vzorce

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kubická rovnice na Wikimedia Commons