Cardanovy vzorce
Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi.
Historie
Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.
Postup
Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar
Substitucí (posunutím) odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici
Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560-1621) substitucí a vynásobením obou stran , po mnoha pokráceních dostaneme , kterou jednoduše vyřešíme.
My ale popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích.
Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující
Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme :
- (3)
Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky
- .
To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme
Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u3 a dostaneme
Toto je kvadratická rovnice pro u3. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že
Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme
Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině (), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená . Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě -p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a
- .
Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak
- a
- , takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,
- a
- , kde
- .
Shrnutí
Pro kubickou rovnici
řešení pro neznámou x dostaneme jako
kde
Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.
Víme, že nebo .
Ale protože u a v musí splňovat a , můžeme dokázat, že pokud
, pak .
Vypsáním třetích odmocnin dostaneme
Nezapomeňte, že díky dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud , takže musí platit –
a x dostaneme jako
Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:
Označme tzv. diskriminant rovnice
.
Potom platí:
- Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
- Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
- Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic_equation na anglické Wikipedii.