Metoda tečen

Metoda tečen je iterační numerická metoda užívaná v numerické matematice k nalezení kořenů funkce nebo k řešení soustavy nelineárních algebraických rovnic. Nazývá se také Newtonova metoda (nebo Newton-Raphsonova metoda) a metodou tečen je označována, protože přesnější řešení rovnice f(x) = 0 je hledáno ve směru tečny funkce f(x).

Jeden krok metody tečen při hledání řešení . představuje původní odhad, v bodě je sestrojena tečna ke křivce . V místě, kde tečna protíná osu , se nachází nový odhad .

Popis algoritmu

Newtonova metoda tečen slouží k nalezení řešení rovnice f(x) = 0 za předpokladu, že známe derivaci funkce f'(x), tedy směrnici tečny. Pro jednoduchost dále předpokládejme, že x i f(x) jsou skaláry.

Animovaná ukázka hledání řešení .

Dalším nezbytným předpokladem je znalost počáteční hodnoty x0, v jejíž blízkosti hledáme řešení. Pokud se funkce f(x) chová rozumně (je spojitá, hladká a monotónní v intervalu, ve kterém hledáme řešení), lze očekávat řešení v místě, kde tečna sestrojená z bodu f(x0) protíná osu x. (Směrnice této tečny je f'(x0).) Tento průsečík označíme x1 a vypočteme jej podle následujícího vztahu.

Za splnění výše uvedených předpokladů by měla hodnota f(x1) být blíže nule než původní f(x0). Stejný postup můžeme opakovat a najít tak ještě přesnější hodnotu xk.

Iteraci provádíme tak dlouho, dokud hodnota f(xk) neleží dostatečně blízko nuly.

Odvození vztahu pro řadu

Víme, že rovnice tečny tk funkce f(x) v libovolném bodě xk je dána vzorcem, jelikož derivace je směrnicí tečny (koeficient lineárního členu):

Zároveň také víme, že tečna tk prochází bodem . Po dosazení:

Hledáme bod , což je průnik tečny tk v bodě xk s osou x, a zároveň dosadíme vyjádřené b:

Odtud již plyne:

Příklad: Výpočet druhé odmocniny

Úkolem je vypočítat druhou odmocninu kladného reálného čísla a.

Problém lze definovat také jako nalezení kořenu funkce , neboli řešení rovnice .

Vypočteme derivaci .

Dosadíme do obecného vzorce a upravíme.

Získáváme tak rekurentní rovnici, u které jako počáteční podmínku můžeme zvolit .

Ukázka výpočtu , neboli , metodou tečen.

Výpočet (druhé odmocniny z devíti) bude podle výše uvedeného algoritmu probíhat následovně.

a  = 9
x0 = 9
x1 = 5
x2 = 3.4
x3 = 3.02352941176471
x4 = 3.00009155413138
x5 = 3.00000000139698
x6 = 3.00000000000000
x7 = 3.00000000000000

Je vidět, že po několika málo krocích se hodnota nemění a ustálí se (konverguje) na hodnotě 3, což odpovídá správnému výsledku.

Poznámky

Aproximace derivace

Pokud známe pouze funkci f(x) a neznáme její derivaci f'(x), můžeme se pokusit derivaci nahradit numerickou derivací. Případně je možné řešit úlohu metodou sečen, která znalost derivace nevyžaduje.

Vektory

Je-li funkce f(x) skalární funkcí vektorového argumentu („z vektoru vypočte skalár“), je nutné hledat xk+1 proti směru gradientu. Předpis pro iteraci lze potom napsat následovně.

Pokud je funkce f(x) vektorovou funkcí vektorového argumentu („z vektoru vypočte vektor“), lze předpis pro iteraci napsat následovně.

Matice J je takzvaná Jacobiho matice obsahující parciální derivace.

Související články

Externí odkazy
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.