Keplerova úloha

Mějme tělesa o hmotnostech ${\displaystyle m_{1}}$ a ${\displaystyle m_{2}}$. Velikost síly, kterou se přitahují, je dána vztahem

${\displaystyle F={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle G}$ je gravitační konstanta a ${\displaystyle r}$ vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie

${\displaystyle V=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}}$.

Lagrangián soustavy je pak dán výrazem

${\displaystyle L=T-V={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {x}}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {x}}_{2}^{2}+{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{x}_{2}-{x}_{1}|}}}$,

kde ${\displaystyle {x}_{1}}$ a ${\displaystyle {x}_{2}}$ jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.

Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě. Zavedeme tedy nové proměnné

${\displaystyle {X}={\frac {m_{1}{x}_{1}+m_{2}{x}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$,

${\displaystyle {x}={x}_{1}-{x}_{2}}$,

kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.

Lagrangián v těchto proměnných má tvar

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu {\dot {x}}^{2}+{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{x}|}}}$,

kde

${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$

a

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$.

Zde je zřejmé, že proměnná ${\displaystyle {X}}$ je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz ${\displaystyle M{\dot {X}}}$ integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}}$.

Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že ${\displaystyle \theta =90}$ a ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$, pak pro další časy ${\displaystyle \theta }$ zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině ${\displaystyle z=0}$). Lagrangián má pak tvar

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}}$ ,

což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic) tvaru

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {GM}{r}}}$ .

Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:

${\displaystyle r^{2}{\dot {\varphi }}=l}$ ,

${\displaystyle {\ddot {r}}=r{\dot {\varphi }}^{2}-{\frac {GM}{r^{2}}}}$ .

Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.

První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě ${\displaystyle l}$, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna ${\displaystyle l/2}$). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.

Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {l^{2}}{r^{3}}}-{\frac {GM}{r^{2}}}}$ .

Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné ${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$ . Potom totiž máme:

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {1}{u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {{\rm {d}}u}{{\rm {d}}\varphi }}{\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}t}}=-l{\frac {{\rm {d}}u}{{\rm {d}}\varphi }}}$ .

Označíme-li ${\displaystyle u'={\frac {{\rm {d}}u}{{\rm {d}}\varphi }}}$, dostáváme

${\displaystyle {\ddot {r}}=-lu''{\dot {\varphi }}=-l^{2}u^{2}u''}$.

Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec

${\displaystyle u''+u={\frac {GM}{l^{2}}}}$ ,

což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar

${\displaystyle u(\varphi )=A\cos(\varphi -\varphi _{0})+{\frac {GM}{l^{2}}}}$ .

Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je

${\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {GM}{l^{2}}}+A\cos(\varphi -\varphi _{0})}}={\frac {\frac {l^{2}}{GM}}{1+A{\frac {l^{2}}{GM}}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}={\frac {p}{1+\varepsilon \cos(\varphi -\varphi _{0})}}}$,

kde

${\displaystyle p={\frac {l^{2}}{GM}}}$ ,

${\displaystyle \varepsilon =A{\frac {l^{2}}{GM}}}$ .

Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o rovnici kuželosečky v polárních souřadnicích, přičemž ${\displaystyle p}$ představuje parametr kuželosečky a ${\displaystyle \varepsilon }$ její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Speciálně planety se pohybují po elipsách a Slunce je v ohnisku.

Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita ${\displaystyle \varepsilon <1}$. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.

Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy

${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{l}}}$,

kde ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ je velká a malá poloosa elipsy.

Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí

${\displaystyle 2a={\frac {p}{1+\varepsilon }}+{\frac {p}{1-\varepsilon }}={\frac {2p}{1-\varepsilon ^{2}}}}$,

dále pak dle definice výše

${\displaystyle p={\frac {l^{2}}{GM}}}$,

nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}$.

Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme

${\displaystyle T={\frac {2\pi a^{2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{\sqrt {GMp}}}={\frac {2\pi a^{2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{\sqrt {GMa(1-\varepsilon ^{2})}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}a^{\frac {3}{2}}}$.

Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru:

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}}$.

Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovy zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.

Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána Keplerovou rovnicí.

V tomto případě je výhodnější místo závislosti ${\displaystyle \varphi }$ na čase zkoumat závislost excentrické anomálie ${\displaystyle E}$, která je pro tento účel výhodnější parametrizací.

Pro elipsu přitom platí

${\displaystyle x=a\cos E-\varepsilon a}$,

${\displaystyle y=b\sin E}$,

kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.

• Problém tří těles