Zákon zachování hybnosti

Zákon zachování hybnosti izolované soustavy lze vyjádřit následovně:

Celková hybnost izolované soustavy těles se nemění.

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=0\implies \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}+\cdots +\mathbf {p} _{n}={\text{konst.}}}$

Střela o hmotnosti ${\displaystyle m}$ zasáhne balistické kyvadlo délky ${\displaystyle L}$, hmotnosti ${\displaystyle M}$ a uvízne v něm. Kyvadlo se vychýlí o úhel ${\displaystyle \phi }$ z rovnovážné polohy. Určeme velikost rychlosti střely ${\displaystyle v_{s}}$.

Uvažujme nulovou počáteční rychlost balistického kyvadla. Jedná se o srážku dokonale nepružnou, tudíž zákon zachování hybnosti bude dán ve tvaru

${\displaystyle m\mathbf {v} _{s}+M\mathbf {v} _{b}=(m+M)\mathbf {v} _{c}}$,

z čehož můžeme vyjádřit celkovou rychlost po srážce ve tvaru

${\displaystyle \mathbf {v} _{c}={\frac {m\mathbf {v} _{s}+M\mathbf {v} _{b}}{m+M}}={\frac {m\mathbf {v} _{s}}{m+M}}}$.

Platí zákon zachování mechanické energie; zvolme ${\displaystyle h}$ jako velikost vertikální výchylky balistického kyvadla z rovnovážné polohy, pak můžeme psát

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(m+M)v_{c}^{2}=(m+M)gh}$,

přičemž rychlost již známe, takže dosadíme a upravíme

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {m^{2}v_{s}^{2}}{(m+M)^{2}}}=gh}$.

Vertikální výchylku spočítáme pomocí úhlu ${\displaystyle \phi }$ jako ${\displaystyle h=L(1-\cos \phi )}$. Nakonec vyjádříme velikost rychlosti střely ve tvaru

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {(m+M)^{2}2gh}{m^{2}}}}={\sqrt {2gL(1-\cos \phi )}}\left(1+{\frac {M}{m}}\right)}$