Izomorfismus

Předpokládejme, že na množině ${\displaystyle X\,\!}$ jsou definovány relace ${\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}\,\!}$ a na množině ${\displaystyle Y\,\!}$ jsou definovány relace ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}\,\!}$. Řekneme, že zobrazení ${\displaystyle F\,\!}$ je izomorfismus mezi ${\displaystyle X\,\!}$ a ${\displaystyle Y\,\!}$ vzhledem k relacím ${\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}\,\!}$ a ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}\,\!}$, pokud platí:

• ${\displaystyle F\,\!}$ je vzájemně jednoznačné zobrazení mezi ${\displaystyle X\,\!}$ a ${\displaystyle Y\,\!}$
• pokud jsou ${\displaystyle R_{i},S_{i}\,\!}$ j-ární relace, potom ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2},\ldots ,x_{j}\in X:[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{j}]\in R_{i}\Leftrightarrow [F(x_{1}),F(x_{2}),\ldots ,F(x_{j})]\in S_{i}\,\!}$.

Řekneme, že struktury ${\displaystyle X,R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}\,\!}$ a ${\displaystyle Y,S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}\,\!}$ jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje nějaký izomorfismus ve smyslu výše uvedené definice.

Ačkoli definice může působit složitě a nepřehledně, zachycuje přesně intuici řečenou v úvodním přiblížení:

• V rámci izomorfismu se nesmí žádné prvky ztrácet ani objevovat, obě množiny musí mít stejný počet prvků (v případě nekonečných množin stejnou mohutnost).
• Izomorfismus musí zachovávat všechny vztahy, tj. relace - pokud jsou v původní množině nějaké prvky v nějakém vztahu, musí být v nové množině také v odpovídajícím vztahu a naopak.

Uvažujme o množinách ${\displaystyle X,Y\,\!}$, které mají uspořádání ${\displaystyle R,S\,\!}$. Izomorfismus v tomto případě znamená, že pokud je ${\displaystyle a,b\in X,a\leq _{R}b\,\!}$, pak musí být ${\displaystyle F(a)\leq _{S}F(b)\,\!}$.

Dá se snadno ukázat, že v izomorfismu se musí nejmenší prvek zobrazit opět na nejmenší prvek, infimum na infimum, minimální prvek na minimální prvek…

V algebře izomorfismem mezi dvěma algebrami rozumíme bijektivní homomorfismus, tedy zobrazení slučitelné se všemi operacemi na algebře, které je zároveň bijekcí (každému prvku z jedné množiny přiřadí právě jeden prvek z druhé).

Opět se jedná o zvláštní případ výše uvedené definice – uvědomme si, že operace není nic jiného, než konkrétní typ relace.

Dá se snadno ukázat, že v izomorfismu se musí neutrální prvek operace zobrazit na neutrální prvek jí odpovídající operace v druhé množině, obdobně například inverzní prvek opět na inverzní prvek.

V teorii grafů řekneme, že dva grafy jsou izomorfní, pokud ${\displaystyle \exists \ F\colon V(G)\to V(G'):\{x,y\}\in E(G)\Leftrightarrow \{f(x),f(y)\}\in E(G')}$.

• Relace (matematika)
• Binární relace
• Izomorfní vnoření

• Izomorfismus v encyklopedii MathWorld (anglicky)