Binární relace

Binární relace je uspořádána trojice ${\displaystyle [A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle R]}$, kde ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ jsou libovolné množiny a ${\displaystyle R}$ je podmnožina kartézského součinu ${\displaystyle A\times B}$. Množině ${\displaystyle A}$ se říká definiční obor, množině ${\displaystyle B}$ obor hodnot a množinu ${\displaystyle R}$ nazýváme graf relace.

Binární relace značíme uspořádanou dvojicí ${\displaystyle [x,}$ ${\displaystyle y]}$, nebo pokud chceme rozlišit, o kterou relaci se jedná, pak ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y)}$, kde ${\displaystyle x\in A,y\in B}$ a ${\displaystyle R}$ je označení příslušné množiny z definice.

Binární relace může být:

• symetrická, pokud platí ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y)}$, pak ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x)}$.

Příkladem může být relace ${\displaystyle R=}$ „je sourozenec“. Je-li ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ množinou všech mých příbuzných, pak musí existovat (já R sestra) a také (sestra R já). (Pokud sourozence nemám, je množina relací prázdná, i taková relace je symetrická).

• tranzitivní, pokud ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y)}$ a současně ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z)}$, pak platí ${\displaystyle (xRz)}$.

Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr,(a současně) Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.

• reflexivní, pokud pro všechna x patřící do X platí ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x)}$, to znamená, pokud je prvek ${\displaystyle x}$ v relaci sám se sebou. (Samozřejmě, že první ${\displaystyle x}$ pochází z množiny ${\displaystyle A}$ a druhé ${\displaystyle x}$ pochází z ${\displaystyle B}$. Mohou to být stejné množiny.)

Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní je "je vyšší". Neplatí, že (já "je vyšší"(než) já).

• antisymetrická pokud ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y)}$ a současně ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x)}$, pak platí ${\displaystyle x=y}$.

Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.

Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.

Další typy: úplné uspořádání, dobré uspořádání.

Na množině binárních relací jsou definovány následující operace - jejich výsledkem je opět relace

• Inverzní relace k relaci R je taková relace R_-1 (R⁻¹) mezi množinami B a A, obsahující právě ty [y,x] ∈ B × A, že [x,y] ∈ R.
• Relace složená z relací R a S je relace ${\displaystyle T=S\circ R}$ (R složeno s S) z množiny A do množiny C, která obsahuje právě taková [x,z] ∈ A × C, pro něž existuje takový prvek y v množině B, že [x,y] ∈ R a [y,z] ∈ S, tedy

${\displaystyle R\circ S=\{[x,z];\exists y\in B:[x,y]\in R\land [y,z]\in S\}}$

• Průnik relací R a S je relace ${\displaystyle R\cap S}$ obsahující pouze takové uspořádané dvojice, které se nacházejí současně v obou relacích. Tedy
  R ∩ S = {[x,y]; [x,y]∈R ∧ [x,y]∈S}
• Sjednocení relací R a S je relace ${\displaystyle R\cup S}$ obsahující takové uspořádané dvojice, které se nacházejí alespoň v jedné z relací. Tedy
  R ∪ S = {[x,y]; [x,y]∈R ∨ [x,y]∈S}