Fundamentální grupa

Nechť ${\displaystyle X}$ je topologický prostor a ${\displaystyle x}$ je prvkem ${\displaystyle X}$. Zaveďme prostor ${\displaystyle C}$ oblouků začínajících v ${\displaystyle x}$ předpisem

${\displaystyle C=\{s:[0,1]\to X,s{\mbox{ je spojité a }}s(0)=s(1)=x\}}$.

Pro každé ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ z ${\displaystyle C}$ definujme element ${\displaystyle a+b}$ z ${\displaystyle C}$ formulí ${\displaystyle (a+b)(t):=a(2t)}$ pro ${\displaystyle t\in [0,1/2]}$ a ${\displaystyle (a+b)(t)=b(2t-1)}$ pro ${\displaystyle t\in [1/2,1]}$ a element ${\displaystyle a^{-1}}$ z ${\displaystyle C}$ předpisem ${\displaystyle a^{-1}(t)=a(1-t)}$ pro ${\displaystyle t\in [0,1]}$. Nakonec definujme element ${\displaystyle e(t):=x}$ pro každé ${\displaystyle t\in [0,1]}$. Snadno lze ověřit, že ${\displaystyle (C,+,^{-1},e)}$ je grupa. Definujme na C relaci ekvivalence ${\displaystyle \simeq }$. Položíme ${\displaystyle a\simeq b}$, právě tehdy když oblouk ${\displaystyle a}$ je homotopický oblouku ${\displaystyle b}$. Definujme ${\displaystyle \pi _{1}(X,x):=C/\simeq }$. Dá se ukázat, že grupa C určuje přirozeně strukturu grupy na ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$. Tato se nazývá první homotopická grupa topologického prostoru ${\displaystyle X}$, respektive fundamentální grupa X .

Pokud ${\displaystyle X}$ je obloukově souvislý, potom ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\simeq \pi _{1}(X,x_{1})}$ pro každé ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{1}}$ z ${\displaystyle X}$, tj. první homotopická grupa pro obloukově souvislý topologický prostor je až na izomorfizmus nezávislá na bodu ${\displaystyle x}$. Tato grupa se proto někdy nazývá jenom fundamentální grupa prostoru, ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$.

Fundamentální grupa Euklidova prostoru je triviální, ${\displaystyle \pi _{1}(R^{n},0)\simeq 0}$, neboť ${\displaystyle R^{n}}$ je kontraktibilní.

Fundamentální grupa Euklidova prostoru bez bodu je izomorfní grupě celých čísel, ${\displaystyle \pi _{1}(R^{2}-\{0\},1)\simeq \mathbb {Z} }$. Podobně fundamentální grupa kružnice ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z} }$.

Fundamentální grupa součinu topologických prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup. Například pro torus je ${\displaystyle \pi _{1}(T^{2},m)\simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$, kde ${\displaystyle T^{2}}$ je torus a ${\displaystyle m}$ jeho nějaký bod. Generátory ${\displaystyle (1,0)\in \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ a ${\displaystyle (0,1)\in \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ reprezentují (třídu homotopie) velké a malé kružnice toru ${\displaystyle T^{2}}$.

Fundamentální grupa Kleinovy láhve je izomorfní ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$ Prvek (0,1) tedy odpovídá nestažitelné uzavřené křivce, která když se objede dvakrát, stane se stažitelnou.

Fundamentální grupa číslice "8" (chápané jako křivky v rovině) je volná grupa o dvou generátorech.

• Libovolná grupa je izomorfní fundamentální grupě nějakého topologického prostoru.
• Fundamentální grupa součinu prostorů je izomorfní součinu příslušných fundamentálních grup.
• Abelianizace fundamentální grupy je první homologická grupa.
• Pokud má prostor univerzální nakrytí, pak podgrupy fundamentální grupy odpovídají jeho nakrytím a normální podgrupy odpovídají jeho normálním nakrytím.

Základní věta algebry se dá lehce dokázat pomocí tvrzení, že fundamentální grupa kružnice je izomorfní ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Kdyby totiž polynom p stupně k neměl kořen, zobrazení ${\displaystyle p/|p|}$ z dostatečně velké kružnice ${\displaystyle K_{1}}$ do jednotkové kružnice ${\displaystyle S^{1}}$ by objelo jednotkovou kružnici k krát. Tato křivka tedy odpovídá prvku k ve fundamentální grupě ${\displaystyle S^{1}}$. V prostoru ${\displaystyle \mathbb {C} }$ je ${\displaystyle K_{1}}$ stažitelná do bodu, tudíž k=0 a polynom p je konstantní.

Podobně Brouwerova věta o pevném bodu je v případě dvourozměrné koule jednoduchá aplikace netriviálnosti fundamentální grupy kružnice.

V případě kompaktních variet fundamentální grupa úzce souvisí s existencí vektorového pole, kterého rotace je nulová, ale které není gradientem žádného potenciálu.

U reprezentací Lieovy grupy G souvisí fundamentální grupa s existencí reprezentací její Lieovy algebry, které neodpovídají žádné reprezentaci Lieovy grupy G.

V teorii uzlů se často studuje fundamentální grupa doplňku uzlů v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (anebo jiném prostoru), která popisuje jisté invariantní vlastnosti uzlu.

Pojem fundamentální grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách, resp. tzv. algebraických mnohoznačných funkcí v souvislosti s výzkumem tzv. matice period mnohoznačné algebraické funkce. V současnosti je pojem užíván především v algebraické topologii, algebraické geometrii aj. oblastech matematiky, jakou je např. teorie uzlů.

Pojem fundamentální grupy je zobecněn pojmem homotopického grupoidu^[zdroj?]. Fundamentální grupa je pouze první z řady homotopických grup. Vyšší homotopické grupy zavedl matematik Eduard Čech[1]

• HATCHER, Allen. Algebraic topology. [s.l.]: Cambridge University Press, 2002. Dostupné online. ISBN 978-0-521-79540-1.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu fundamentální grupa na Wikimedia Commons