Fundamentální systém

Uvažujme lineární homogenní soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu

${\displaystyle \mathbf {y} ^{\prime }(x)=A(x)\,\mathbf {y} (x),}$

na nějakém intervalu ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$, kde ${\displaystyle A:\langle a,b\rangle \to \mathbb {R} ^{n\times n}}$ je maticové zobrazení. Hledáme řešení této soustavy diferenciálních rovnic v prostoru ${\displaystyle C^{1}(\langle a,b\rangle$ ;\mathbb {R} ^{n})} spojitě diferencovatelných funkcí ${\displaystyle \mathbf {y}$ :\langle a,b\rangle \to \mathbb {R} ^{n}} .

Jestliže máme dvě různá řešení této diferenciální rovnice, pak jejich součet a násobek s reálnou konstantou jsou také řešením této rovnice. Prostor řešení je tedy vlastním podprostorem prostoru všech spojitě diferencovatelných funkcí.

Jestliže matice koeficientů ${\displaystyle A}$ je spojitá maticová funkce, pak lze na ni použít Picardovu-Lindelöfovu větu o existenci a jednoznačnosti. Pak každé řešení diferenciální rovnice je jednoznačně určeno hodnotou ${\displaystyle \mathbf {y} (a)}$ v počátečních podmínkách a naopak každá počáteční hodnota ${\displaystyle \ \mathbf {y} (a)=:\mathbf {y} _{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ této soustavy diferenciálních rovnic určuje jednoznačně řešení. Z toho plyne, že prostor řešení je n-dimenzionální.

Každá báze tohoto n-dimenzionálního prostoru řešení se nazývá fundamentální systém lineární soustavy diferenciálních rovnic. Ve většině případů si volíme bázi soustavy funkcí, které jsou řešeními ${\displaystyle \{\mathbf {y} _{1}(x),\ldots ,\mathbf {y} _{n}(x)\}}$, pro které počáteční hodnota ${\displaystyle \mathbf {y} _{i}(a)=\mathbf {e} _{i}}$ je ${\displaystyle i}$-tý kanonický jednotkový vektor.

Pokud ${\displaystyle \{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{n}\}}$ je fundamentální systém, pak matici ${\displaystyle \Phi (x):=(\mathbf {y} _{1}(x)\ |\ \cdots \ |\ \mathbf {y} _{n}(x))\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ nazveme fundamentální maticí a její determinant ${\displaystyle \ \det \Phi (x)}$ budeme nazývat Wronskián. Jestliže ${\displaystyle \Phi (x_{0})}$ pro nějaké ${\displaystyle x_{0}}$ je jednotková matice, pak se ${\displaystyle \Phi }$ nazývá hlavní fundamentální matice v bodě ${\displaystyle x_{0}}$.

Fundamentální matice ${\displaystyle \Phi }$ je také řešení homogenní obyčejné (maticové) diferenciální rovnice, konkrétně

${\displaystyle \Phi ^{\prime }(x)=A(x)\Phi (x).}$

Prostor řešení původní homogenní soustavy v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ pak je ${\displaystyle \{\mathbf {y} \in C^{1}(\langle a,b\rangle$ ;\mathbb {R} ^{n})\ |\ \mathbf {y} (x)=\Phi (x)\cdot \mathbf {c} ,\ \mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{n}\}} . ${\displaystyle \Phi }$ je dokonce i hlavní fundamentální matice pro ${\displaystyle x_{0}}$, takže ${\displaystyle \mathbf {y} (x):=\Phi (x)\mathbf {y} _{0}}$ řeší počáteční úlohu pro ${\displaystyle \mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0}}$.

Fundamentální matice ${\displaystyle \Phi (x)\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ je pro každé ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$ invertibilní. Pro Wronskián platí Liouvilleův vzorec.

Stejně jako v případě rovnic prvního řádu může být prostor řešení lineární soustavy vyššího řádu také vektorový prostor, a proto každou jeho bázi lze považovat za fundamentální systém.

Pro definici fundamentální matice skalární lineární diferenciální rovnice řádu n

${\displaystyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)}$

nejdříve uvažujeme diferenciální rovnici odpovídající soustavě n rovnic prvního řádu

${\displaystyle \mathbf {Y} '(x)=A(x)\mathbf {Y} (x)}$, kde ${\displaystyle A(x):={\begin{pmatrix}0&1&&0\\&\ddots &\ddots &\\&&\ddots &1\\a_{0}(x)&a_{1}(x)&\cdots &a_{n-1}(x)\\\end{pmatrix}}.}$

[Vztah je následující: ${\displaystyle y(x)}$ je řešením skalární rovnice řádu n právě tehdy když ${\displaystyle \mathbf {Y} (x):={\begin{pmatrix}y(x)\\y'(x)\\\vdots \\y^{(n-1)}(x)\\\end{pmatrix}}}$ je řešením výše uvedené soustavy prvního řádu.]

Fundamentální maticí rovnice

${\displaystyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)}$

nazýváme každou fundamentální matici ${\displaystyle \Phi }$ soustavy prvního řádu

${\displaystyle \mathbf {Y} '(x)=A(x)\mathbf {Y} (x)\ .}$

Přirozeně ${\displaystyle \Phi }$ nazýváme hlavní fundamentální maticí v ${\displaystyle x_{0}}$, jestliže ${\displaystyle \Phi (x_{0})}$ je jednotková matice. Determinant ${\displaystyle \det \Phi }$ se nazývá Wronskián.

Pro redukci rovnice na soustavu prvního řádu: jestliže ${\displaystyle \{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ je fundamentální systém, pak

${\displaystyle \Phi (x):={\begin{pmatrix}y_{1}(x)&\cdots &y_{n}(x)\\y_{1}'(x)&\cdots &y_{n}'(x)\\\vdots &\cdots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}(x)&\cdots &y_{n}^{(n-1)}(x)\\\end{pmatrix}}}$

je fundamentální matice.

Nechť ${\displaystyle A}$ je primitivní funkce k funkci ${\displaystyle a}$, potom

${\displaystyle \ \{y(x)=e^{A(x)}\}}$

je fundamentální systém rovnice ${\displaystyle y'(x)=a(x)y(x)}$.

Pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty

${\displaystyle \ \mathbf {y} '(x)=A\cdot \mathbf {y} (x)\ ,\ A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$

nejdříve nalezneme Jordanovu normální formu ${\displaystyle J}$ matice ${\displaystyle A}$ a příslušnou Jordanovu bázi ${\displaystyle B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}}$. Pokud ${\displaystyle \lambda }$ je komplexní vlastní hodnota s vlastními vektory báze ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$, můžeme v Jordanově bázi vybrat bázové vektory tak, že ${\displaystyle {\overline {\mathbf {c} _{1}}},\ldots ,{\overline {\mathbf {c} _{k}}}}$ se stanou bázovými vektory ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$.

Nyní provedeme pro každý řetězec hlavních vektorů zvlášť: Pokud ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\in B}$ je (úplný) řetězec hlavních vektorů pro vlastní číslo ${\displaystyle \lambda }$, tj.

${\displaystyle \ (A-\lambda I)\mathbf {v} _{i+1}=\mathbf {v} _{i}}$,

pak dodávají do fundamentálního systému ${\displaystyle k}$ řešení (hlavního vektoru)

${\displaystyle y_{1}(x)=e^{\lambda x}\mathbf {v} _{1}\ ,\ y_{2}(x)=e^{\lambda x}\left({\frac {x^{1}}{1!}}\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)\ ,\ y_{3}(x)=e^{\lambda x}\left({\frac {x^{2}}{2!}}\mathbf {v} _{1}+{\frac {x^{1}}{1!}}\mathbf {v} _{2}+\mathbf {v} _{3}\right)\ ,\ \ldots \ ,}$

obecně

${\displaystyle y_{i}(x)=e^{\lambda x}\sum _{j=1}^{i}{{\frac {x^{i-j}}{(i-j)!}}\mathbf {v} _{j}}\ ,\ i=1,\ldots ,k}$

Probráním všech řetězců hlavních vektorů sestrojíme (obecně komplexní) fundamentální systém.

Fundamentální systém pro skalární lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty

${\displaystyle y^{(n)}(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}y^{(k)}(x)=0\ ,\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$

získáme řešením charakteristické rovnice ${\displaystyle P(\lambda )=0}$ s charakteristickým polynomem

${\displaystyle P(\lambda ):=\lambda ^{n}-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\lambda ^{k}}$.

Jestliže ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ jsou (po dvou různé) kořeny polynomu ${\displaystyle P}$ s násobnostmi ${\displaystyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{k}}$, pak (komplexní) fundamentální systém ${\displaystyle \mu _{i}}$ lineárně nezávislých řešení pro kořen ${\displaystyle \lambda _{i}}$ je

${\displaystyle y_{i,1}(x)=e^{\lambda _{i}x}\ ,\ y_{i,2}(x)=xe^{\lambda _{i}x}\ ,\ \ldots \ ,\ y_{i,\mu _{i}}(x)=x^{\mu _{i}-1}e^{\lambda _{i}x}}$.

[To vysvětluje způsob vyjadřování: pomocí výše uvedené transformace získáme skalární rovnici n-tého řádu ze soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu, takže máme matici koeficientů jako charakteristický polynom přesně toto, jak bylo zde ukázáno.]

Výše uvedeným postupem získáme n lineárně nezávislých řešení, která mohou obsahovat komplexní čísla. Díky tomu, že pokud má charakteristické rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, jsou to dvojice komplexně sdružených čísel, využitím linearity diferenciální rovnice a Eulerova vzorce ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ lze komplexní fundamentální systém převést na reálný tak, že každou dvojici komplexně sdružených řešení ${\displaystyle y(x),{\overline {y}}(x)}$ z (komplexního) fundamentálního systému převedeme na reálná řešení ${\displaystyle {\rm {Re\;}}y(x),{\rm {Im\;}}y(x)}$.

Pro soustavu

${\displaystyle \ \mathbf {y} '(x)=A(x)\mathbf {y} (x)}$

s ${\displaystyle \omega }$-periodickou spojitou maticí koeficientů ${\displaystyle A:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m\times m}}$ nelze explicitně zkonstruovat fundamentální systém – ale díky Floquetově teorii lze zjistit jaká bude struktura fundamentální matice této soustavy.

Řešíme následující soustavu diferenciálních rovnic

${\displaystyle \mathbf {y} '(x)=A\cdot \mathbf {y} (x)\ ,\ A:={\begin{pmatrix}3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\\\end{pmatrix}}.}$

Matice ${\displaystyle A}$ má jednoduché vlastní číslo 1 a dvojité vlastní číslo 2. Prostor vlastních vektorů je ${\displaystyle E(A,1)=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}}\rangle \ ,\ E(A,2)=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}}\rangle .}$ Pro hlavní řetěz vektorů pro vlastní číslo 2 je stále potřeba

${\displaystyle {\textrm {Kern}}(A-2I)^{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}\rangle .}$

Zvolíme například

${\displaystyle \mathbf {v} _{2}:={\begin{pmatrix}0\\0\\2\\\end{pmatrix}}\in {\textrm {Kern}}(A-2I)^{2}\setminus {\textrm {Kern}}(A-2I).}$

Pak musíme jako hlavní vektor v první fázi zvolit ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}:=(A-2I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\\0\\\end{pmatrix}}}$. Tím dostaneme fundamentální systém ${\displaystyle \{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\}}$, kde

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}(x):=e^{x}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {y} _{2}(x):=e^{2x}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\0\\\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {y} _{3}(x):=e^{2x}\cdot \left[{\begin{pmatrix}2x\\2x\\0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\2\\\end{pmatrix}}\right]\ .}$

Uvažujme diferenciální rovnici

${\displaystyle y^{(4)}(x)-y(x)=0.}$

Tato rovnice má charakteristický polynom ${\displaystyle \lambda ^{4}-1}$, který má čtyři kořeny ${\displaystyle 1,-1,i,-i}$. Odtud hned získáme komplexní fundamentální systém

${\displaystyle \{e^{x},e^{-x},e^{ix},e^{-ix}\},}$

kterému odpovídá reálný fundamentální systém

${\displaystyle \{e^{x},e^{-x},\sin x,\cos x\}.}$