Jordanova normální forma
Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky[1]), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice.
Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici existuje Jordanův tvar , který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice , že . Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice .
Podoba Jordanova tvaru
Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální taková, že:
kde , tzv. Jordanův blok vlastního čísla dimenze , je horní troúhelníková matice ve tvaru:
Matice v Jordanově tvaru má tedy na diagonále obecná komplexní čísla, těsně nad diagonálou 1 nebo 0 a všude jinde nuly.
Pozn.: Nuly v maticovém zápisu Jordanova tvaru zpravidla vynecháváme, jinak by se zápis stal nepřehledným. Automaticky můžete předpokládat, že všechna prázdná místa v maticích budou vyplněna nulami.
Příklad 1
Následující matice je v Jordanově tvaru:
Skládá ze tří Jordanových bloků velikosti 2×2, 1×1 a 3×3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.
Příklad 2
Jakákoliv n×n diagonální matice je v Jordanově tvaru: má n bloků o rozměru 1×1.
Souvislost s vlastními čísly
Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Připomeňme si stručně tyto pojmy:
- Vlastní číslo matice je takové , které pro nějaký vektor splňuje . Tato podmínka se dá snadno přepsat jako .
- Máme-li matici a její vlastní číslo , hodnota se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla .
- Polynom se nazývá charakteristický polynom matice a jeho kořeny jsou vlastními čísly . Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost jako kořene tohoto polynomu.
Z těchto definic je zřejmé, že Jordanův blok má vlastní číslo s algebraickou násobností a geometrickou násobností 1. Lze ukázat, že se násobnosti bloků v Jordanově tvaru sčítají, matice s vlastním číslem s algebraickou násobností a geometrickou násobností bude tedy mít pro toto vlastní číslo Jordanových bloků, jejichž součet dimenzí bude .
Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché, se nazývá násobné.
Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice , jejíž Jordanův kanonický tvar
- obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1, se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
- Matice, která není diagonalizovatelná, ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
- Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna, se v angličtině nazývá „derogatory“ (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
- A naopak, matice se v angličtině nazývá „nonderogatory“ pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům odpovídají různá vlastní čísla ).
Vlastnosti
Každá matice je podobná matici s J jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.
Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice
Demonstrujme si Jordanův rozklad na jednoduchém příkladu. Máme rozložit matici
Nejprve určíme vlastní čísla této matice, například pomocí determinantu
Dostáváme
Nalezli jsme tedy vlastní číslo s algebraickou násobností 2.
Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení homogenní soustavy . Zřejmě
a jedním z hledaných řešení je například vektor . Všimněme si, že matice má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.
Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici . Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor , druhým sloupcem bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí
Snadno se přesvědčíme, že . Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu
kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice . Obsahuje jediný Jordanovův blok velikosti 2.
Reference
- BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 115-118.