Redukce řádu

Redukce řádu je v matematice technika pro řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu. Používá se, když známe jedno řešení , a potřebujeme najít druhé lineárně nezávislé řešení . Metodu lze použít i pro rovnice n-tého řádu. V tomto případě lze kvalifikovaným odhadem získat rovnici (n-1)-ho řádu pro .

Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu

Příklad

Uvažujme obecnou homogenní lineární obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty

kde jsou reálné nenulové koeficienty, Navíc budeme předpokládat, že její charakteristická rovnice

má vícenásobný kořen (tj., že diskriminant se rovná 0). Z toho plyne

Tedy jedno řešení původní diferenciální rovnice je

Budeme hledat druhé řešení ve tvaru

kde je hledaná funkce. Protože musí vyhovovat původní obyčejné diferenciální rovnici, dosadíme řešení do rovnice a dostaneme

Přeskládáním členů podle řádu derivace dostaneme

Protože víme, že je řešením původní úlohy, koeficient posledního termu se rovná nule. Navíc substitucí do koeficientu druhého termu dostaneme (pro tento koeficient)

Takže dostáváme

Protože je nenulové (aby původní rovnice byla druhého řádu) a je exponenciální funkce, která nikdy nenabývá hodnoty nula, jednoduše dostáváme

Dvojí integrací dostaneme

kde jsou integrační konstanty. Nyní můžeme druhé řešení zapsat jako

Protože druhý term v je skalárním násobkem prvního řešení (a je tedy lineárně závislý), můžeme tento term zahodit, což dává výsledné řešení

Navíc můžeme dokázat, že druhé řešení nalezené touto metodou je lineárně nezávislé na prvním řešení výpočtem Wronskiánu

Tedy je druhé lineárně nezávislé řešení, které jsme hledali.

Obecná metoda

Je-li dána obecná nehomogenní lineární diferenciální rovnice

a jedno řešení homogenní rovnice [], zkusíme hledat řešení plné nehomogenní rovnice ve tvaru:

kde je libovolná funkce. Tedy

a

Jestliže tyto jsou dosadíme za , a v diferenciální rovnici, pak

Protože je řešení původní homogenní diferenciální rovnice, , můžeme se omezit na

což je diferenciální rovnice prvního řádu pro (redukce řádu). Vydělením výrazem dostaneme

.

Integrační faktor: .

Znásobením diferenciální rovnice integračním faktorem lze rovnici pro redukovat na

.

Zintegrováním poslední rovnice dostaneme obsahující jednu integrační konstantu. Dalším zintegrováním dostaneme obecné řešení původní nehomogenní rovnice druhého řádu, které obsahuje dvě integrační konstanty, jak je očekáváno:

.

Související články

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Reduction of order na anglické Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.