Redukce řádu

Uvažujme obecnou homogenní lineární obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty

${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,\;}$

kde ${\displaystyle a,b,c}$ jsou reálné nenulové koeficienty, Navíc budeme předpokládat, že její charakteristická rovnice

${\displaystyle a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\;}$

má vícenásobný kořen (tj., že diskriminant ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ se rovná 0). Z toho plyne

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-{\frac {b}{2a}}.}$

Tedy jedno řešení původní diferenciální rovnice je

${\displaystyle y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x}.}$

Budeme hledat druhé řešení ve tvaru

${\displaystyle y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)\;}$

kde ${\displaystyle v(x)}$ je hledaná funkce. Protože ${\displaystyle y_{2}(x)}$ musí vyhovovat původní obyčejné diferenciální rovnici, dosadíme řešení do rovnice a dostaneme

${\displaystyle a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+cvy_{1}=0.}$

Přeskládáním členů podle řádu derivace ${\displaystyle v(x)}$ dostaneme

${\displaystyle \left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+cy_{1}\right)v=0.}$

Protože víme, že ${\displaystyle y_{1}(x)}$ je řešením původní úlohy, koeficient posledního termu se rovná nule. Navíc substitucí ${\displaystyle y_{1}(x)}$ do koeficientu druhého termu dostaneme (pro tento koeficient)

${\displaystyle 2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.}$

Takže dostáváme

${\displaystyle ay_{1}v''=0.\;}$

Protože ${\displaystyle a}$ je nenulové (aby původní rovnice byla druhého řádu) a ${\displaystyle y_{1}(x)}$ je exponenciální funkce, která nikdy nenabývá hodnoty nula, jednoduše dostáváme

${\displaystyle v''=0.\;}$

Dvojí integrací dostaneme

${\displaystyle v(x)=c_{1}x+c_{2}\;}$

kde ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ jsou integrační konstanty. Nyní můžeme druhé řešení zapsat jako

${\displaystyle y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x).\;}$

Protože druhý term v ${\displaystyle y_{2}(x)}$ je skalárním násobkem prvního řešení (a je tedy lineárně závislý), můžeme tento term zahodit, což dává výsledné řešení

${\displaystyle y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.}$

Navíc můžeme dokázat, že druhé řešení ${\displaystyle y_{2}(x)}$ nalezené touto metodou je lineárně nezávislé na prvním řešení výpočtem Wronskiánu

${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.}$

Tedy ${\displaystyle y_{2}(x)}$ je druhé lineárně nezávislé řešení, které jsme hledali.

Je-li dána obecná nehomogenní lineární diferenciální rovnice

${\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)\,}$

a jedno řešení ${\displaystyle y_{1}(t)}$ homogenní rovnice [${\displaystyle r(t)=0}$], zkusíme hledat řešení plné nehomogenní rovnice ve tvaru:

${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,}$

kde ${\displaystyle v(t)}$ je libovolná funkce. Tedy

${\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,}$

a

${\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,}$

Jestliže tyto jsou dosadíme za ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle y'}$ a ${\displaystyle y''}$ v diferenciální rovnici, pak

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).}$

Protože ${\displaystyle y_{1}(t)}$ je řešení původní homogenní diferenciální rovnice, ${\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}$, můžeme se omezit na

${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)}$

což je diferenciální rovnice prvního řádu pro ${\displaystyle v'(t)}$ (redukce řádu). Vydělením výrazem ${\displaystyle y_{1}(t)}$ dostaneme

${\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}}$.

Integrační faktor: ${\displaystyle \mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))\mathrm {d} t}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)\mathrm {d} t}}$.

Znásobením diferenciální rovnice integračním faktorem ${\displaystyle \mu (t)}$ lze rovnici pro ${\displaystyle v(t)}$ redukovat na

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)\mathrm {d} t})=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)\mathrm {d} t}}$.

Zintegrováním poslední rovnice dostaneme ${\displaystyle v'(t)}$ obsahující jednu integrační konstantu. Dalším zintegrováním ${\displaystyle v'(t)}$ dostaneme obecné řešení původní nehomogenní rovnice druhého řádu, které obsahuje dvě integrační konstanty, jak je očekáváno:

${\displaystyle y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t)\,}$.