Carl Friedrich Gauss

Koluje mnoho historek o jeho brzké genialitě a o všech se dá pochybovat. Podle jedné z nich se jeho nadání projevilo už ve věku tří let, kdy opravil chybu svého otce při počtech. Jiným známým příběhem je epizoda s učitelem J. G. Büttnerem na základní škole, který svým žákům zadal, aby se pokusili spočítat součet všech čísel od 1 do 100. Mladý Gauss odpověděl během chvilky, čímž udivil nejen Büttnera, ale i jeho asistenta Martina Bartelse. Gauss si uvědomil, že sečtením opačných prvků z řady čísel dostane vždy stejný výsledek: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, atd., což dohromady dává 50 × 101 = 5050 (viz Aritmetická posloupnost).[4] J. Rotman ve své knize A first course in Abstract Algebra (Základy abstraktní algebry) pochybuje, zda se to vůbec stalo.

V roce 1788 (v jedenácti letech) Gauss začal studovat na gymnáziu. Otec chtěl, aby syn šel v jeho šlépějích a stal se tak kameníkem. Nebyl tedy nadšený, že Gauss studuje matematiku a vědy. Gausse hlavně podporovala matka a Karel II., vévoda brunšvický,[1] který udělil Gaussovi stipendium na Collegium Carolinum (dnes Technická univerzita Brunšvik), kde pobýval v letech 1792–1795. Odtud se přesunul na univerzitu v Göttingenu, kde dál studoval od roku 1795 do roku 1798. Během univerzitních studií Gauss „znovuobjevil“ několik vět a pojmů (Titius-Bodeovo pravidlo, binomická věta, aritmetický a geometrický průměr, zákon kvadratické reciprocity a prvočíselná věta).

Průlom nastal v roce 1796, kdy se mu podařilo ukázat, že každý pravidelný mnohoúhelník s počtem stran rovno Fermatovu prvočíslu (posléze dokázal i pro počet stran roven součinu několika různých Fermatových prvočísel a mocniny čísla 2) jde sestrojit jen pomocí kružítka a pravítka, tedy je eukleidovsky konstruovatelný. To byl velký objev z pohledu matematiky. Konstrukční úlohy byly výzvou už od dob antického Řecka, a tak se Gauss rozhodl studovat raději matematiku místo filologie. Gauss byl tímto výsledkem tak nadšen, že požádal, aby pravidelný sedmnáctiúhelník byl vytesán na jeho náhrobek. Kameník ale odmítl s tím, že vytesání takového obrazce by bylo složité a stejně by vypadal jako kružnice.

Rok 1796 byl velice produktivní, jak pro Gausse, tak pro teorii čísel. Konstrukci sedmnácnáctiúhelníku objevil 30. března. Poté objevil aritmetiku zbytkových tříd a zjednodušil tak výpočty v teorii čísel. Stal se prvním, kdo dokázal platnost kvadratické reciprocity, to bylo 8. dubna. Tuto větu považoval za jednu z nejkrásnějších a během svého života podal spoustu různých důkazů. 31. května odhadl prvočíselnou větu, která říká, jak jsou prvočísla rozložena mezi celými čísly. Gauss také objevil, že každé kladné celé číslo jde vyjádřit jako součet nejvíce tří trojúhelníkových čísel. 10. července si tedy poznačil do deníku známá slova „Heureka! číslo= ${\displaystyle \Delta +\Delta +\Delta }$.“ 1. října publikoval výsledky mnoha polynomů s koeficienty z konečného tělesa (ty vedly k Weilovým hypotézám o 150 let později).

Roku 1799 v disertační práci, „Nový důkaz toho, že každá racionální funkce s jednou proměnou jde rozložit na reálné faktory prvního nebo druhého stupně“, podal Gauss důkaz základní věty algebry. Tato důležitá věta říká, že každý polynom nad komplexními čísly musí mít alespoň jeden kořen. Jiní matematici se také pokoušeli o důkaz, např. Jean le Rond d'Alembert. Gaussova disertační práce kritizovala d'Alembertův důkaz, ale jeho vlastní důkaz nebyl přijat, protože používal dosud nedokázanou Jordanovu větu. Gauss během svého života přišel ještě s třemi dalšími důkazy základní věty algebry, pravděpodobně díky odmítnutí jeho disertační práce. Poslední důkaz z roku 1849 je považován za matematicky rigorózní i z pohledu dnešních matematických standardů. Jeho důkazy značně objasnily chápání komplexních čísel.

Gauss také udělal obrovský pokrok v teorii čísel díky knize Disquisitiones Arithmeticae (1801), která obsahovala předvedení aritmetiky zbytkových tříd a také první důkaz zákona o kvadratické reciprocitě.

V ten rok (1801) italský astronom Giuseppe Piazzi objevil trpasličí planetu Ceres, ale byl schopen ji sledovat jen pár dnů.

Titulní strana Disquisitiones Arithmeticae

Gauss přesně předpověděl pozici, na které se bude znovu nacházet a byla tak 31. prosince 1801 znovu objevena Franz Xaver von Zachem ve městě Gotha (Německo) a o den později zase Heinrichem Olbersem v Brémách. Zach poznamenal, že „nebýt inteligentní práce a výpočtů doktora Gausse, nebyli by nikdy schopni najít znovu Ceres.“

Piazziho objev Cerese přivedl Gausse k teorii o pohybu planetek ovlivňovaných velkými planetami, později (1809) publikováno pod názvem Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (teorie pohybu nebeských těles obíhajících po eliptických dráhách kolem slunce). Piazzi byl schopen sledovat Cerese jen několik měsíců, kdy sledoval jen 3° dráhu. Poté zmizel ve slunečním svitu. O několik měsíců později, kdy se měl Ceres opět objevit jej Piazzi nebyl schopen nalézt: tehdejší matematika nebyla schopna extrapolovat údaje o dráze z tak malého množství dat; 3° na obloze odpovídají jen asi 1% celkově plochy oblohy.

Gauss, kterému v té době bylo 23 let, se o tomto problému doslechl a počal se ho řešit. Po třech měsících usilovné práce předpověděl pozici Cerese v prosinci 1801 – jen rok po jeho objevení – předpověď byla správná s přesností půl stupně. Jeho postup, který v mnohém zjednodušil metody výpočtu drah těles v 18. století, publikoval později jako Teorie o nebeském pohybu. Tento postup je základním kamenem výpočtů i v dnešní době. Přišel s Gaussovou gravitační konstantou a obsahoval mocnou metodu nejmenších čtverců, metoda, která se používá ve všech odvětvích vědy k minimalizaci chyby měření. Gauss byl schopen dokázat správnost své metody v roce 1809 díky normálnímu rozdělení chyb. Normální rozložení bylo popsáno už dřív (1805) matematikem Adrien-Marie Legendrem, ale Gauss tvrdil, že ho využíval už od roku 1795.

Gauss byl zázračný lidský kalkulátor. Údajně, když se ho ptali, jak dokázal předpovědět dráhu Cerese s takovou přesností, odpověděl: „Pomocí logaritmů.“ A když chtěli vědět, jak dokázal tak rychle hledat jejich hodnoty v tabulkách, odvětil: „Hledat? Kdo je potřebuje hledat? Prostě jsem si je spočítal v hlavě!“

Ačkoliv byl Gauss do té doby zajišťován financemi vévody, pochyboval o tomto ujednání a také pochyboval o tom, že by pouhá matematika byla natolik důležitá, aby si to zasloužila. Proto usiloval o pozici v astronomii. To se mu povedlo a roku 1807 se stal profesorem astronomie a ředitelem hvězdárny v Göttingenu. Na tomto místě působil po zbytek svého života.

Disquisitiones Arithmeticae str. 133

V roce 1818 Gauss předvedl své početní schopnosti prakticky, když uskutečnil geodetický průzkum státu Hannover a navázal tak na předešlé dánské průzkumy. Aby si pomohl v průzkumu, vynalezl Gauss Heliotrop, nástroj který odráží sluneční paprsky na velkou vzdálenost a pomáhá tak určit pozici.

Průzkum Hannoveru později vedl k objevení gaussovského rozdělení, známého jako normální rozdělení, které popisuje chyby měření. Navíc nasměrovalo to Gaussův zájem k diferenciální geometrii, oboru, který se zabývá křivkami a plochami. V tomto oboru přišel v roce 1828 s důležitou větou; theorema egregium (významná věta) zavádějící důležitou vlastnost popisující zakřivení. Zjednodušeně řečeno věta říká, že zakřivení plochy může být určeno měřením úhlů a vzdáleností na této ploše, neboli zakřivení nezáleží na umístění plochy v prostoru.

Gauss také tvrdil, že objevil možnost neeuklidovské geometrie, ale nikdy ji nepublikoval. Tento objev byl velkým posunem v paradigmatu matematiky, protože osvobodil matematiky od mylného přesvědčení, že Euklidovy postuláty jsou jedinou cestou ke konzistentní a neprotichůdné geometrii. Práce na těchto geometriích vedla mimo jiné i k Einsteinově obecné teorii relativity, která popisuje vesmír jako neeuklidovský. Gaussův přítel, Farkas Wolfgang Bolyai, se kterým si přísahali „přátelství a věrnost“, se jako student mnoho let marně pokoušel vyvrátit 5. Euklidův postulát. Až Bolyaiův syn, János Bolyai, objevil neeuklidovskou geometrii roku 1829 a tuto práci publikoval roku 1832. Poté, co ji Gauss viděl, napsal Farkasi Bolyaiovi:

Toto nepodložené tvrzení pošramotilo vztah s Jánosem Bolyaiem, který si myslel, že mu chce Gauss ukrást jeho myšlenku. Gaussovy dopisy z let před rokem 1829 odhalují, že Gauss přemítal o problému rovnoběžek (5. Euklidův postulát). Waldo Dunnington, v knize „Gauss, Titan of Science (Gauss, titán vědy)“, úspěšně dokládá, že Gauss věděl o existenci neeuklidovské geometrie dávno před tím, než ji publikoval János, ale odmítal svou domněnku publikovat, protože se bál polemiky.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Carl Friedrich Gauss na anglické Wikipedii.

• STUDNIČKA, František Josef. Karel Bedřich Gauss na oslavu stoleté památky jeho narození. Časopis pro pěstování matematiky a fysiky. 1877, roč. 6, čís. 4, s. 147–200. Dostupné online.
• GAVSS, Carolus Fridericus. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Nový důkaz věty, že každou algebraickou racionální celou funkci jedné proměnné lze rozložit na reálné činitele prvního nebo druhého stupně). Helmstedt: C. G. Fleckeisen, 1799. Dostupné online.

• Gaussova eliminační metoda
• Normální rozdělení
• Gauss (jednotka)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Carl Friedrich Gauss na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Gauss v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
• Osoba Carl Friedrich Gauss ve Wikicitátech
• Autor Carl Friedrich Gauss ve Wikizdrojích
• Seznam děl v Souborném katalogu ČR, jejichž autorem nebo tématem je Carl Friedrich Gauss