Grupoid

Množinu ${\displaystyle (\mathbb {M} )}$, na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme grupoid a značíme ${\displaystyle (\mathbb {M}$ ;\cdot )} .

• (N; +) – operace sčítání na množině přirozených čísel.
• (N; ·) – operace násobení na množině přirozených čísel.

• (N; −) – operace odčítání na množině přirozených čísel není uzavřená.
• (N; :) – operace dělení na množině přirozených čísel není uzavřená.

• Grupoid (M; ·) se nazývá asociativní, právě když (∀x,y,z ∈ M)(x·y)·z = x·(y·z) – tj. operace na něm definovaná je asociativní. Pokud je grupoid asociativní, nazývá se pologrupa.
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s neutrálním prvkem, právě když (∃e ∈ M)(∀x ∈ M) e·x = x·e = x – tj. operace na něm definovaná má neutrální prvek.
  • Jde-li o operaci násobení (tj. multiplikativní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme jednotkový prvek a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. aditivní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme nulový prvek a značíme: 0.
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s inverzními prvky, právě když 1 ∈ M ∧ (∀x ∈ M)(∃y ∈ M) x·y = y·x = 1 – tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také inverzní prvek.
• Grupoid (M; ·) se nazývá komutativní, právě když (∀x,y ∈ M)x·y = y·x – tj. operace na něm definovaná je komutativní.
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zleva, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y).
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zprava, právě když (∀x,y,z ∈ M) (x·z = y·z ⇒ x = y).
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y) ∧ (x·z = y·z ⇒ x = y).
• Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s dělením, právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v ∈ M) (x·u = y ∧ v·x = y).