Teorie grup

Počátky teorie grup sahají do posledních let 18. a počátku 19. století, kdy se začala vyvíjet jako důsledek rozvoje teorie algebraických rovnic, teorie čísel a geometrie. Prvními matematiky, kteří se zabývali touto oblastí byli Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel a Évariste Galois.

Moderní definici grupy podal roku 1882 Walther von Dyck.

Grupa je základním pojmem teorie grup. Je definována jako množina ${\displaystyle \mathbb {G} }$ spolu s binární operací ${\displaystyle \cdot }$ splňující tři grupové axiomy:

Asociativita:	${\displaystyle f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h}$
Existence neutrálního prvku:	${\displaystyle (\exists e)(\forall g)\quad g\cdot e=e\cdot g=g}$
Existence inverzních prvků:	${\displaystyle (\forall g)(\exists h)\quad g\cdot h=h\cdot g=e}$

• Lagrangeova věta: Je-li G konečná grupa a H její podgrupa, pak řád H dělí řád G.
• Cayleyho věta: Každá grupa G je izomorfní podgrupě grupy permutací na G (symetrické grupě).
• Sylowovy věty: Popisují existenci a vlastnosti p-podgrup konečné grupy.
• Věta o homomorfismu: Dává do souvislosti dvě grupy, mezi nimiž je homomorfismus, s jeho jádrem a obrazem.
• Jordan-Hölderova věta: Každé dvě kompoziční řady dané grupy jsou izomorfní.
• Krull-Schmidtova věta: Stanovuje podmínky pro to, aby grupa G byla konečným součinem svých nerozložitelných podgrup.
• Burnsidovo lemma: Počet orbit akce grupy na množinu se rovná průměrnému počtu bodů fixovaných jednotlivými prvky grupy.
• Klasifikace konečně generovaných abelovských grup: Každá konečně generovaná abelovská grupa je jednoznačně vyjádřitelná jako direktní suma cyklických grup řádu nekonečného nebo mocniny prvočísla.
• Klasifikace konečných jednoduchých grup: Jeden z vrcholných výsledků matematiky 20. století.