Hypotéza kontinua

Hypotéza kontinua tvrdí, že neexistuje množina X, ktorej mohutnosť je väčšia než je mohutnosť množiny prirodzených čísel a menšia než je mohutnosť reálnych čísel. Hypotézu kontinua sformuloval Georg Cantor.

Hypotéza kontinua bola veľkým orieškom pre matematikov 20. storočia. Na jej počiatku stála nasledovná úvaha:

Nech ${\displaystyle \mathbb {N} }$ je množina prirodzených čísel a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ množina reálnych čísel. Klasickou Cantorovou diagonálnou metódou sa dá dokázať, že množina ${\displaystyle \mathbb {N} }$ je "subvalentná" množine ${\displaystyle \mathbb {R} }$, tj. má menšiu mohutnosť (kardinalitu, ľudovo "má menej prvkov"), značíme ${\displaystyle |\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |}$ . Otázka znie, či existuje nejaká množina ${\displaystyle X}$, pre ktorú by platilo ${\displaystyle |\mathbb {N} |<|X|<|\mathbb {R} |}$, t. j. či existuje nejaká nespočítateľná množina, ktorá má menšiu mohutnosť než kontinuum (množina reálnych čísel). Hypotéza kontinua tvrdí, že množina ${\displaystyle X}$ neexistuje.

Kurt Gödel dokázal, že existencia takejto množiny sa nedá z axiómov Zermelo-Fraenkelovej teórie množín vyvrátiť.

Americký matematik P. Cohen dokázal, že hypotéza kontinua nezávisí od ostatných axióm teórie množín.