Buraliho-Fortiho paradox

Podľa definície je ordinálne číslo každá množina, ktorá je ostro dobre usporiadaná relácia "bytie prvkom" a navyše každý jej prvok je zároveň jej podmnožinou.
Uvažujme teraz na chvíľku o množine ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$, ktorá obsahuje všetky ordinálne čísla. Taká množina je určite ostro dobre usporiadaná relácia ${\displaystyle \in }$ a navyše každý svoj prvok – ordinálne číslo – obsahuje určite aj ako podmnožinu. To samozrejme znamená, že ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$ je sama tiež ordinálne číslo, ktoré je väčšie ako všetky ordinálne čísla a teda i ako ona sama. To je ale samozrejme nezmysel.

V dobe publikovania bol Buraliho-Fortiho výsledok často zľahčovaný s tým, že ide o „príliš veľkú“ množinu – na „rozumných“ množinách k niečomu podobnému dochádzať nemôže. Preto sa takisto vžilo označenie paradox, napriek tomu že, v skutočnosti išlo o spor v klasickej definícii množiny ako „súboru objektov (prvkov) vymedzených pomocou operácie nájdenie“.

Až neskôr, spoločne s ďalšími „paradoxmi“, z ktorých ako najdôležitejší sa ukázal Russellov paradox, viedol tento výsledok ku kompletnému prepracovaniu základov teórie množín na axiomatickom základe – pozri Zermelova-Fraenkelova teória množín.

V axiomatickej teórii množín sa mi už žiadnym spôsobom nepodarí skonštruovať vyššie uvedenú množinu ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$ – Buraliho-Fortiho výsledok je vlastne dôkazom toho, že ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$ nie je množina, ale vlastná trieda.

• Teória množín
• Ordinálne číslo
• Russellov paradox
• Cantorov paradox