Prirodzené číslo
Pojem prirodzené číslo može znamenať buď kladné celé číslo (1, 2, 3,...) alebo nezáporné celé číslo (1, 2, 3,...).Nula nie je prirodzené číslo. Prirodzené čísla majú dve hlavné použitia: počítanie ("na stole sú 3 jablká") alebo poradie ("toto je 3. najväčšie mesto na Slovensku"). Vlastnosti prirodzených čísel súvisiace s deliteľnosťou (ako napr. rozdelenie prvočísel) študuje teória čísel. Problémy, s ktorými sa stretávame pri počítaní (ako napr. Ramseyova teória), študuje kombinatorika. (Pozn.: Už uvedený význam prirodzených čísel nie je matematická definícia, pretože zvyčajne všetky ostatné čísla sa definujú pomocou prirodzených, čo by viedlo k definícii kruhom. Korektné matematické definície sú uvedené nižšie.)
História prirodzených čísel a príslušnosť čísla nula
Prirodzené čísla majú podľa všetkého pôvod v slovách, ktoré sa používali na počítanie vecí, začínajú číslom jedna.
Prvý veľký pokrok smerom k abstrakcii bolo použitie číslic na reprezentovanie čísel. Systém číslic umožnil zapisovať veľmi veľké čísla. Napríklad v Babylone vyvinuli silný pozičný systém založený na čísliciach pre 1 a 10. Starovekí Egypťania mali číselný systém s rôznymi hieroglyfmi pre 1, 10 a všetky mocniny čísla 10 až do miliónu. Zárezy na kameňoch z Karnaku, datované približne z roku 1500 pred Kr. (teraz uložené v Louvre v Paríži), zobrazujú číslo 276 ako 2 stovky, 7 desiatok a 6 jednotiek (podobne pre číslo 4622).
Ďalší krok k abstrakcii sa udial oveľa neskôr. Bola ním myšlienka nuly ako čísla s vlastnou číslicou. Číslica nula bola používaná v pozičných číselných systémoch už okolo roku 700 pred Kr. Babylončanmi, ale nikdy sa nepoužívala samostatne. Civilizácie Olmekov a Mayov používali nulu ako samostatné číslo okolo prvého storočia pred Kr., ale tento zvyk sa nikdy nerozšíril za hranice Mezoameriky. Koncept nuly, tak ako je to v súčasnosti, má pôvod v Indii a môžeme ho pozorovať u matematika Brahmaguptu v roku 628. Tak či tak, nulu používali ako číslo všetci stredovekí kalkulátori ("živé kalkulačky") počnúc Dionysiom Exiguusom v roku 525, ale vo všeobecnosti pre ňu neexistovala žiadna rímska číslica. Namiesto toho sa používalo slovo označujúce "nič" (nullae).
Prvé systematické štúdium čísel ako abstrakcií (t. j. ako abstraktných entít) za zvyčajne pripisuje starovekým gréckym filozofom, konkrétne Pytagorovi a Archimedovi. Ale podobné štúdium prebiehalo približne v rovnakom čase paralelne v Indii, Číne a Mezoamerike.
V devätnástom storočí bola vyvinutá prvá definícia prirodzených čísel založená na teórii množín. V rámci tejto definície je pohodlnejšie zahrnúť nulu (zodpovedajúcu prázdnej množine) medzi prirodzené čísla. Táto konvencia je dnes bežná v teórii množín, logike, diskrétnej matematike a informatike. V iných odvetviach matematiky, ako napr. v teórii čísel, je tento zvyk menej badateľný a častejšie sa používa staršia tradícia, ktorá nezahrňovala nulu ako prirodzené číslo.
Notácie
Matematici používajú zvyčajne na označenie množiny prirodzených čísel symbol veľkého písmena N v latinke (najčastejšie sádzané tučne N alebo tzv. matematickým tabuľovým fontom . Táto množina je nekonečná množina, ale spočítateľná (z definície).
Na predídenie nejednoznačnosti či autor považuje nulu za prirodzené číslo alebo nie sa niekedy pridáva dolný index "0" v prvom prípade (t. j. ak nula je zahrnutá medzi prirodzené čísla), či horný index "*" v druhom prípade (t. j. ak nie je):
- N = N0 = { 0, 1, 2, ... } ; N* = { 1, 2, ... }.
(Niekedy sa v druhom prípade používa aj horný index "+". Zápis s horným indexom "*" sa zvyčajne používa v abstraktnej algebre na označenie tých prvkov okruhov, ku ktorým neexistuje multiplikatívny inverzný prvok, špeciálne v poliach sú to nenulové prvky.)
Formálne definície
Historicky sa exaktné matematické definície prirodzených čísel rodili s veľkými ťažkosťami. Peanove axiómy špecifikujú podmienky, ktoré musia spĺňať všetky úspešné definície prirodzených čísel. Isté konštrukcie (ako napr. v teórii množín, teórii modelov) ukazujú, že (aspoň jedna) štruktúra vyhovujúca Peanovým axiómom existuje.
Peanove axiómy
- Existuje prirodzené číslo 0.
- Na množine prirodzených čísel je definovaná unárna operácia "nasledovník", označovaná S.
- Neexistuje žiadne prirodzené číslo, ktorého nasledovníkom je 0.
- Rôzne prirodzené čísla majú rôznych nasledovníkov: ak a ≠ b, potom S(a) ≠ S(b) (t. j. funkcia nasledovníka je injektívna).
- Ak číslo 0 spĺňa nejakú vlastnosť a súčasne ju spĺňa každý nasledovník prirodzeného čísla, potom túto vlastnosť spĺňajú všetky prirodzené čísla (axióma matematickej indukcie).
Je dôležité si uvedomiť, že "0" v Peanových axiómach nemusí nutne zodpovedať číslu nula tak, ako ho bežne poznáme. "0" je jednoducho symbol nejakého objektu, ktorý spolu s vhodnou funkciou nasledovníka vyhovuje Peanovým axiómam. Existuje veľa rôznych systémov, ktoré im vyhovujú, "klasická" množina prirodzených čísel je len jedna z nich (a to aj nezávisle či rátame od nuly alebo jednotky).
Štandardná konštrukcia
V teórii množín sa prirodzené čísla definujú nasledovnou štandardnou konštrukciou:
- Označme 0 := { }
- a definujme S(a) = a U {a} pre všetky a.
- Množina prirodzených čísel je potom definovaná ako prienik všetkých množín obsahujúcich 0, ktoré sú uzavreté vzhľadom na funkciu nasledovníka.
- Predpokladajúc axiómu nekonečnosti, dá sa dokázať, že táto definícia spĺňa Peanove axiómy.
- V "klasickom" zápise čísel potom každému prirodzenému číslu zodpovedá množina prirodzených čísel menších ako ono samo, takže
- 0 = { }
- 1 = {0} = {{ }}
- 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
- 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
- a tak ďalej. Keď uvidíte prirodzené číslo použité ako množinu, zvyčajne sa tým myslí toto. Pri tejto definícii množina n obsahuje presne n prvkov (v naivnom zmysle) n ≤ m (v naivnom zmysle) práve vtedy, keď n je podmnožina m.
- Pri tejto definícii sa taktiež prelínajú rozličné interpretácie zápisov ako Rn (n-tice vs. zobrazenia z n do R).
Ďalšie konštrukcie
Napriek tomu, že štandardná konštrukcie je užitočná, nie je jediná možná. Napríklad:
- položme 0 = { }
- a súčasne S(a) = {a},
- teda výsledkom
- 0 = { }
- 1 = {0} = {{ }}
- 2 = {1} = {{{ }}}, atď.
Mohli by sme dokonca definovať 0 = {{ }}
- a S(a) = a U {a}
- čo by znamenalo
- 0 = {{ }}
- 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
- 2 = {{ }, 0, 1}, atď.
Vo zvyšku textu predpokladáme štandardnú konštrukciu popísanú vyššie.
Vlastnosti
Operáciu sčítania na prirodzených číslach môžeme definovať rekurzívne a to takto: a + 0 = a a súčasne a + S(b) = S(a + b) pre všetky prirodzené čísla a, b. Touto konštrukciou získame komutatívny monoid (N, +) s neutrálnym prvkom 0. V tomto monoide platí zákon krátenia, a preto ho je možné vložiť do grupy. Najmenšia grupa obsahujúca prirodzené čísla sa nazýva celé čísla.
Ak definujeme S(0) := 1, potom S(b) = S(b + 0) = b + S(0) = b + 1; t. j. nasledovník b sa dá vyjadriť pomocou práve definovanej operácie + jednoducho ako b + 1.
Analogicky, pri už definovanom sčítaní, môžeme ďalej definovať násobenie nasledovne: a × 0 = 0 a súčasne a × S (b) = (a × b) + a. Týmto získame ďalší komutatívny monoid (N, ×) s neutrálnym prvkom 1 (t. j. nasledovníkom 0). Generátor tohto monoidu je množina prvočísel. Ľahko sa dokáže, že takto definované operácie sčítanie a násobenie vyhovujú distributívnemu zákonu, presnejšie povedná, násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Znamená to, že (N, +, ×) tvorí komutatívny polookruh.
Vo zvyšku textu píšeme ab ako skrátený zápis pre a × b a taktiež predpokladáme štandardnú precendciu operátorov.
Ďalej môžeme definovať totálne usporiadanie na prirodzených číslach: a ≤ b (definotoricky) práve vtedy, keď existuje iné prirodzené číslo c také, že a + c = b. Pre toto usporiadanie platí: ak a, b a c sú prirodzené čísla a a ≤ b, potom a + c ≤ b + c a ac ≤ bc. Dôležitá vlastnosť tohto usporiadania je, že na množine prirodzených čísel tvorí dobré usporiadanie: každá neprázdna množina prirodzených čísel má najmenší prvok.
Aj keď všeobecne nie je možné deliť ľubovoľné čísla (delenie nazývame inverznú operáciu k násobeniu) (prirodzené čísla totiž netvoria pole (algebra)), používa ako náhradu procedúru nazývanú delenie so zvyškom: pre každé dve prirodzené čísla a a b, pričom b ≠ 0, existujú prirodzené čísla q a r také, že
- a = bq + r a r < b
a navyše čísla q a r sú jednoznačne určené. Číslo q nazývame celočíselný podiel a r zvyšok. Táto veta je jednou z kľúčových pri budovaní rôznych myšlienok v teórii čísel.
Zovšeobecnenia
Z dvoch rôznych použití prirodzených čísel v bežnom živote sa objavujú ich dve rôzne zovšeobecnenia: ordinálne čísla (ordinály) sa používajú na popísanie pozície prvku v usporiadanej postupnosti a kardinálne čísla, ktoré používame na určenie veľkosti danej množiny.
Pri konečných postupnostiach sú obidve zahrnuté v prirodzených číslach.