Inverzné zobrazenie (funkcia)

Ak je ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ zobrazenie, resp. ${\displaystyle f=\left\lbrace (a,b)|a\in A,b\in B\right\rbrace }$, potom inverzné zobrazenie je ${\displaystyle f^{-1}:B\rightarrow A}$ také, že ${\displaystyle f^{-1}(b)=a\Leftrightarrow f(a)=b}$ resp. tiež ${\displaystyle (b,a)\in f^{-1}\Leftrightarrow (a,b)\in f}$ (tu ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle f^{-1}}$ sú v zmysle relácie). Z toho vyplýva, že zobrazenie f musí byť prosté, tzn. rôznym prvkom ${\displaystyle a,a'}$ musí priraďovať rôzne prvky ${\displaystyle b,b'}$ - inak by nebolo jednoznačne určené, na čo sa má zobraziť prvok b v inverznom zobrazení.

Inverzné zobrazenie je:

• jednoduché
• surjektívne („na“)
• ${\displaystyle f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x}$

Ku každému vzájomne jednoznačnému zobrazeniu je možno nájsť zobrazenie inverzné.

Majme funkciu ${\displaystyle y=f(x)}$ s definičným oborom ${\displaystyle D}$ s oborom hodnôt ${\displaystyle V}$. Inverznú funkciu k funkcii ${\displaystyle f}$ nazveme funkciou ${\displaystyle x=g(y)}$ s definičným oborom ${\displaystyle V}$, ktorá každému ${\displaystyle y\in V}$ priradí práve to ${\displaystyle x\in D}$, pre ktoré platí ${\displaystyle y=f(x)}$. Inverzná funkcia k funkcii ${\displaystyle f}$ býva tiež zapisovaná ako ${\displaystyle f^{-1}}$.

Ak je f prostá funkcia, potom k nej je možné nájsť inverznú funkciu. V takom prípade je graf inverznej funkcie k f osovo súmerný s grafom f podľa osi 1. a 3. kvadrantu. Z toho vyplýva, že identická funkcia ${\displaystyle f(x)=x}$ je inverzná sama k sebe.

• Prostá funkcia. Inverzná funkcia.
• Inverzná funkcia - vlastnosti