Cantorov paradox

Uvažujeme o množine ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ všetkých množín. Podľa Cantorovej vety má množina všetkých jej podmnožín (ich potenčná množina) ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbb {V} )\,\!}$ väčšiu mohutnosť, ako samotná ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$. Existuje teda množina, ktorá sa nedá vzájomne jednoznačne zobraziť do množiny všetkých množín, a teda ani do sebe samej – čo je samozrejme nezmysel.

V dobe publikovania nebola Cantorovmu paradoxu prikladaná veľká váha s tým, že sa odohráva na príliš veľkých množinách (množina všetkých podmnožín množiny všetkých množín). Preto sa takisto vžilo označenie paradox, napriek tomu, že v skutočnosti išlo o spor v klasickej definícii množiny ako „súboru objektov (prvkov) vymedzených pomocou operácie nájdenie“.

Až neskôr, spoločne s ďalšími „paradoxmi“, z ktorých ako najdôležitejší sa ukázal Russellov paradox, viedol tento výsledok ku kompletnému prepracovaniu základov teórie množín na axiomatickom základe – pozri Zermelova-Fraenkelova teória množín.

V axiomatickej teórii množín už nemožno skonštruovať vyššie uvedenú množinu ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ – súbor všetkých množín nie je množina, ale vlastná trieda, a o jej potenčnej množine teda nemá vo svete teórie množín zmysel hovoriť.

• Potenčná množina
• Teória množín
• Kardinálne číslo
• Russellov paradox
• Buraliho-Fortiho paradox
• Zermelova-Fraenkelova teória množín
• Naivná teória množín