Komutativita

Budeme-li uvažovat grupoid ${\displaystyle S}$, potom binární operace ${\displaystyle \cdot }$ definovaná na ${\displaystyle S}$ se nazývá komutativní, jestliže platí

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$

pro všechna ${\displaystyle x,y\in S}$. Zároveň jestliže pro ${\displaystyle x,y\in S}$ platí ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$, potom říkáme, že tyto dva prvky spolu komutují.

Je-li tato operace nad ${\displaystyle S}$ zároveň asociativní, tj. ${\displaystyle S}$ tvoří pologrupu, potom tuto operaci většinou nazýváme násobením, které značíme ${\displaystyle xy}$. Ve speciálním případě, kdy ${\displaystyle S}$ vzhledem k této operaci tvoří komutativní grupu, tuto operaci nazýváme sčítáním.

Nejznámější příklady komutativní binární operace jsou sčítání (značíme ${\displaystyle +}$) a násobení (značíme ${\displaystyle \cdot }$) přirozených čísel.

${\displaystyle 2+3=3+2}$ (v obou případech je výsledek 5)

${\displaystyle 7\cdot 3=3\cdot 7}$ (v obou případech je výsledek 21)

Další ukázky komutativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, průnik a sjednocení množin v potenční množině ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$, operace maximum a minimum na uspořádaných množinách.

Mezi binární operace, které nejsou komutativní, patří například odčítání, dělení, umocňování, tj. ${\displaystyle a^{b}}$, nebo vektorové násobení, které je antikomutativní, tj. liší se pouze o znaménko.

Důležitým příkladem nekomutativního násobení je násobení matic nad prostorem komplexních čtvercových matic ${\displaystyle M^{n}(\mathbb {C} )}$. Jako jednoduchý protipříklad se nabízí

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$.

Tato vlastnost matic (a obecněji lineárních operátorů) je důležitá v kvantové fyzice, ve které jsou např. poloha a hybnost částice popsané nekomutujícími operátory a nelze je proto určit zároveň s libovolnou přesností (viz princip neurčitosti). Měření těchto veličin je nekomutativní, což znamená, že záleží na tom, zda měříme první polohu či hybnost.

S pojmem komutativity úzce souvisí tzv. komutátor, který definujeme nad libovolným okruhem ${\displaystyle R}$ ve tvaru

${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$.

Z definice komutátoru je zřejmé, že dva prvky spolu komutují, jestliže je jejich komutátor nulový, tudíž lze hrubě říci, že komutátor v určitém smyslu "měří" míru nekomutativity.

Komutátor je zajímavý především z toho důvodu, že libovolná asociativní algebra vzhledem ke komutátoru tvoří Lieovu algebru, přičemž každou Lieovu algebru ${\displaystyle L}$ lze vnořit do nějaké asociativní algebry, s čímž souvisí univerzální obalová algebra ${\displaystyle U(L)}$.