Aritmetika

První písemné záznamy o přirozených číslech pocházejí z Mezopotámie a Egypta z období asi 3500 před n. l. Jako přirozená čísla označujeme čísla, která používáme k vyjádření počtu prvků konečných neprázdných množin (počtu osob, zvířat, předmětů apod). Nulu začali používat v zápisech babylonští matematikové asi 2000 let před n. l., nezávisle na nich objevili nulu i Mayové. Do Evropy přinesl nulu Leonardo Pisánský (Fibonacci) - v díle Liber Abaci (Kniha o abaku) z roku 1202.[4]

Při sčítání (součet) a násobení (součin) přirozených čísel výsledek je číslo přirozené. Násobení (resp. opakované sčítání) přirozených čísel je také přirozené číslo. Analogicky s definicí násobení sčítáním lze vícenásobné násobení použít jako definici operaci umocňování. Lze říci, že množina přirozených čísel je uzavřená vzhledem k operaci sčítání a násobení, pro odčítání a dělení není uzavřená.

Pro každé přirozené číslo platí:

• věta o komutativnosti: sčítání: 2 + 3 = 3 + 2 = 5 (zamění-li se pořadí sčítanců, součet se nezmění); násobení: 5 . 4 = 4 . 5 = 20 (zamění-li se pořadí činitelů, součin se nezmění)
• věta o asociativnosti: sčítání: (2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5) = 11 (změní-li se umístění závorek, součet se nezmění; násobení: (10 . 5) . 2 = 10 . (5 . 2) = 100 (změní-li se umístění závorek, součin se nezmění)
• věta o neutrálnosti čísla 1 vzhledem k násobení: 10 . 1 = 10 (násobením čísla jedničkou se číslo nezmění
• věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání : 5 . (2 + 3) = 5 . 2 + 5 . 3 = 25[5]

Kromě základních zákonů aritmetiky jsou pro přirozená čísla splněna i pravidla monotónnosti sčítání a násobení[6], zápis v algebraické formě:

${\displaystyle a+b>a+c\lor b>c}$

${\displaystyle a.b>a.c\lor b>c}$ a ${\displaystyle a>0}$

Základní pravidla pro operaci umocňování vyplývají z její definice. V algebraické formě je lze psát následovně:

${\displaystyle a^{n}.a^{m}=a^{n+m}}$;

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m};n>m}$;

${\displaystyle (a^{n})^{m}=a^{nm}}$

Odčítáním většího čísla od menšího vznikne záporné číslo. Poprvé se koncept záporných čísel objevil v Indii, byl interpretována jako „dluh“ (kladná čísla - „majetek“). Záporná čísla se rozšířila až v 17. století. Termín „odčítání“ vytvořil Boethius , termíny „odečteno“ a „zmenšený“ vytvořil Wolf v roce 1716, „rozdíl“ - Widman v roce 1489. Moderní označení se značkami „+“ a „-“ zavedl také Widmann na konci 15. století. Teprve v 18. století Leonhard Euler, Isaac Newton nebo René Descartes začali zavádět záporná čísla. Množina čísel, zahrnující přirozená čísla, nulu a záporná čísla je obor celých čísel.[4]

Vennův diagram zobrazení vztahu množin čísel

Při dělení přirozených čísel, často nebyl výsledek v oboru přirozených čísel. Např. 6 : 3 = 2, ale již 6 : 4 = 1,5 (resp. ${\displaystyle 1{\frac {2}{4}}=1{\frac {1}{2}}}$ ). Byla zavedena nová čísla – zlomky, které se poprvé objevily už 3000 před n. l. v Mezopotámii a Egyptě. Zlomky společně s celými čísly tvoří množinu racionálních čísel, používají se k vyjádření počtu celků a jejich dílů, změn těchto počtů apod. Množina racionálních čísel je uzavřená pro předchozí čtyři operace.

Odmocnit některá racionální čísla není problém, např. ${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2}$ ; ale ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1{,}414213562...}$ V rozvoji se žádná skupina číslic neopakuje, nejedná se tedy o číslo racionální s periodickým rozvojem, ale o množinu čísel, které se nazývají iracionální. Kladná iracionální čísla se objevila okolo roku 300 před n. l. ve spisech Eukleida. Množina iracionálních čísel se označuje I a patří sem √2, √5, π atd. Množina, která obsahuje všechna přirozená, celá, racionální a iracionální čísla se nazývá množina reálných čísel, značí se R.

Odmocňování např. při řešení kvadratické rovnice ${\displaystyle x^{2}+1=0}$; její řešení vede na ${\displaystyle x^{2}=-1}$. Aby rovnice měla řešení, byla zavedena komplexní jednotka ${\displaystyle i}$, (platí ${\displaystyle i.i=i^{2}=-1.}$

Komplexní jednotka je součástí imaginárního čísla (např. 4i), jehož označení pochází od René Descartesa. Komplexní číslo se zapisuje jako dvojčlen ${\displaystyle a_{1}+a_{2}i}$ , v tomto zápisu se číslo ${\displaystyle a_{1}}$ nazývá reálná část, ${\displaystyle a_{2}}$ imaginární část komplexního čísla. Množina komplexních čísel se značí C.[4]

Ve starověkém Řecku (na příkladu výpočtu úhlopříčky čtverce - straně byla přiřazena hodnota 1), byly učiněny pokusy získat přesnou číselnou hodnotu dané úhlopříčky. Což se odrazilo v Euklidových „Počátcích“. Skutečná čísla se stala předmětem výzkumu až v 17. – 18. století. Ve druhé polovině 19. století formulovali Dedekind, Cantor a Weierstrass své konstruktivní metody pro stanovení reálného počtu.