Třídové zobrazení
Třídové zobrazení je matematický pojem z oblasti teorie množin, který zobecňuje pojem množinového zobrazení.
Definice
Definice (množinového) zobrazení vyžaduje, aby jak definiční obor tak i obor hodnot byl množinou. V matematice je přesto běžné uvažovat o zobrazeních (například identita, potence, atd.), jejichž formálním definičním oborem je celé matematické univerzum (), tedy vlastní třída (viz Russellův paradox). Ve standardní formalizaci teorie množin (systém ZFC) přísně vzato o třídách (a tedy i o výše zmíněných zobrazeních) nelze hovořit[1]. Vzniklou situaci lze řešit buď přechodem do jiné formalizace (např. Gödel-Bernays nebo Kelley-Morsey), která o třídách umožňuje mluvit, nebo lze vyjadřování o třídách chápat jako jistý typ zkratky. V tomto textu se budeme držet druhého přístupu, který propagoval W. V. Quine[2][3], a je dnes mezi matematiky pracujícími v teorii množin zdaleka nejrozšířenější.
Řekneme, že třída je třídové zobrazení, jestliže:[4]
- , kde je univerzální třída tj. obsahuje výhradně uspořádané dvojice množin.
- Pro její formuli platí podmínka jednoznačnosti, t.j. pokud lze dokázat následující implikaci:
Pro třídové zobrazení můžeme zavést běžné značení funkční hodnoty, t.j. formuli chápeme jako zkratku formule . Podobně lze chápat i všechny ostatní pojmy běžně používané u množinových zobrazení (obor hodnot, definiční obor,…) jako jisté zkratky.
Příklady
Množinová zobrazení
Z definice ihned plyne, že každé množniové zobrazení je speciálním případem třídového zobrazení.
Potence
Zobrazení, které každé množině přiřadí množinu všech jejích podmnožin je třídové zobrazení z univerzální třídy do univerzální třídy.
Mohutnost jako třídové zobrazení
Pomocí axiomu výběru lze dokázat, že každou množinu je možno vzájemně jednoznačně zobrazit na právě jedno kardinální číslo[5]. Toto kardinální číslo nazýváme mohutností dané množiny. V teorii ZFC je mohutnost příkladem třídového zobrazení z univerzální třídy do třídy všech kardinálních čísel. Mohutnost lze definovat i v teorii bez axiomu výběru[6] nicméně její obor hodnot již bude obsahovat i množiny mimo třídu .
Pořadí kardinálních čísel
Uvažujme o předpisu, který každému nekonečnému kardinálnímu číslu přiřadí jeho pořadí podle velikosti. Formálně jde o třídové bijektivní rostoucí zobrazení třídy nekonečných kardinálních čísel na třídu všech ordinálních čísel . Toto zobrazení je inverzní k funkci alef. Funkce alef a funkce gimel jsou dalšími příklady třídového zobrazení mezi vlastními třídami.
Fundovaný rank a konstruovatelný rank množiny
Pokud přijmeme axiom fundovanosti, t.j. univerzální třída je totožná s fundovaným jádrem, lze každé množině přiřadit její tzv. fundovaný rank, t.j. nejmenší ordinální číslo , pro které platí, že náleží do -té vrstvy fundovaného jádra ().
Získáváme tak třídové zobrazení , běžně označované jako rankovací funkce [7]. Podobně jako u mohutnosti lze rankovací zobrazení definovat i v teorii množin bez axiomu fundovanosti. V této teorii tak získáme zobrazení jehož definiční obor bude fundované jádro . Podobnými úvahami aplikovanými na třídu (Gödelovo univerzum konstruovatelných množin) lze získat konstruovatelný rank množiny, t.j. třídové zobrazení z třídy na třídu .
Podívajte se také na
Odkazy
Reference
- BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. Dostupné online. ISBN 80-200-0470-X. S. 45. [dále jen Balcar, Štěpánek (2001)].
- QUINE, Willard Van Orman. Set theory and its logic. Cambridge, Mass.: [s.n.], 1963. 359 s.
- FRAENKEL, A. A.; BAR-HILLEL, Y.; LEVY, A. Foundations of Set Theory. druhé revidované vydání. vyd. [s.l.]: Elsevier, 1973. 404 s. Dostupné online. ISBN 0720422701. S. 147.
- Balcar, Štěpánek (2001), s. 145
- Balcar, Štěpánek (2001), s. 86
- Balcar, Štěpánek (2001), s. 198
- Balcar, Štěpánek (2001), s. 193
Literatura
- BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X. Kapitola II., §2.