Faktoralgebra

Nechť je ${\displaystyle A=(A,F)\,\!}$ algebra. Ekvivalence ${\displaystyle \sim \,\!}$ na ${\displaystyle A\,\!}$ se nazývá kongruence algebry pokud:

• Pro každou operaci ${\displaystyle F_{A}\,\!}$ a ${\displaystyle a_{1}\sim b_{1},...,a_{ar(F_{A})}\sim b_{ar(F_{A})}\,\!}$ platí ${\displaystyle F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})\sim F_{A}(b_{1},...,b_{ar(F_{A})})\,\!}$

Operace faktoralgebry ${\displaystyle B=(A/\sim ,G)\,\!}$ pak definujeme na blocích ekvivalence takto:

• Pro každé ${\displaystyle F_{A}\,\!}$ a ${\displaystyle a_{1},...,a_{ar(F_{A})}\in A\,\!}$ je ${\displaystyle G_{A}([a_{1}],...,[a_{ar(F_{A})}])\sim [F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})]\,\!}$

Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.

Je-li ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B\,\!}$ homomorfismus algeber, pak platí ${\displaystyle A/ker(\varphi )\simeq Im(\varphi )\,\!}$.

Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry ${\displaystyle A\,\!}$ podle jádra homomorfismu ${\displaystyle ker(\varphi )\,\!}$ je isomorfní s obrazem homomorfismu ${\displaystyle Im(\varphi )\,\!}$.

Myšlenka důkazu:

• Je li ${\displaystyle \varphi \,\!}$ homomorfismus ${\displaystyle A\rightarrow B\,\!}$ pak jádro zobrazení ${\displaystyle ker(\varphi )}$ je kongruence algebry ${\displaystyle A\,\!}$.
• Je li ${\displaystyle \varphi \,\!}$ homomorfismus ${\displaystyle A\rightarrow B\,\!}$ a ${\displaystyle \sim \,\!}$ kongruence na ${\displaystyle A\,\!}$ taková, že ${\displaystyle a\sim b\Rightarrow \varphi (a)=\varphi (b)\,\!}$, pak je zobrazení ${\displaystyle \psi :A/\sim \rightarrow B,[a]\rightarrow \varphi (a)\,\!}$ je homomorfismus.
• Pak ${\displaystyle A/\ker(\varphi )\rightarrow Im(\psi )=Im(\varphi )\,\!}$ je prostý a na a je tedy izomorfismem.

Každá kongruence na algebře ${\displaystyle \sim \,\!}$ je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z ${\displaystyle \varphi :a\rightarrow [a]_{\sim }\,\!}$, tedy ${\displaystyle A\rightarrow A/\sim \simeq B\,\!}$.

Naopak každé jádro homomorfismu ${\displaystyle ker(\varphi )\,\!}$ je kongruence ${\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow \varphi (a)=\varphi (b)\,\!}$.

Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy ${\displaystyle A/\sim \simeq Im(\varphi )\,\!}$ pro ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B\simeq A/\sim \,\!}$.

A naopak projekce ${\displaystyle \psi :A\rightarrow A/\sim \,\!}$ je homomorfismem pro kongruenci na algebře ${\displaystyle \sim \,\!}$.

• STANOVSKÝ, David. Praha: matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. (čeština)

• Kongruence
• Faktorgrupa
• Faktorokruh
• Varieta algeber