Formule (logika)

Termy jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina termů je nejmenší množina splňující:

• Každá proměnná je term.
• Každý konstantní symbol c jazyka L je term.
• Kdykoli F je n-ární funkční symbol jazyka L a ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ jsou termy, pak ${\displaystyle F(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ je term.
• Nic, co nevzniklo pomocí předchozích pravidel, není term, neboli každý term vznikne konečným použitím tří výše uvedených pravidel

Atomická formule jazyka L je výraz tvaru ${\displaystyle P(t_{1},\ldots ,t_{n})}$, kde P je n-ární predikátový symbol jazyka L a ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ jsou termy nebo (jde-li o logiku s rovností) tvaru ${\displaystyle \,t_{1}=t_{2}}$, kde ${\displaystyle \,t_{1},t_{2}}$ jsou termy.

Formule jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina formulí je nejmenší množina splňující:

• Každá atomická formule je formule
• Když ${\displaystyle \varphi }$ je formule, x proměnná, pak ${\displaystyle \neg \varphi }$ a ${\displaystyle (\forall x)(\varphi )}$ jsou formule.
• Když ${\displaystyle \varphi ,\psi }$ jsou formule, pak ${\displaystyle \varphi \Rightarrow \psi }$ je formule.

Formule se nazývá otevřená, neobsahuje-li žádný kvantifikátor, a uzavřená, je-li každá proměnná v ní obsažená kvantifikována (tj. je na ni aplikován některý kvantifikátor). Uzavřená formule se nazývá též sentence.

Například:

• formule ${\displaystyle x+y=z}$ je otevřená ale ne uzavřená
• formule ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(x+y=xy)}$ je uzavřená ale ne otevřená
• formule ${\displaystyle (\forall x)(x<y)}$ není ani otevřená ani uzavřená
• formule ${\displaystyle 0+0=0}$ je otevřená i uzavřená

Podformulí formule ${\displaystyle \varphi }$ je každá formule, která je částí formule ${\displaystyle \varphi }$.

Říkáme, že proměnná x je vázaná ve formuli ${\displaystyle \varphi }$, jestliže existuje podformule formule ${\displaystyle \varphi }$ ve tvaru ${\displaystyle (\forall x)\psi (x)}$. Říkáme, že proměnná x je volná ve formuli ${\displaystyle \varphi }$, jestliže x má výskyt v nějaké podformuli ${\displaystyle \,\psi }$ formule ${\displaystyle \varphi }$ takové, že ${\displaystyle \,\psi }$ není podformulí žádné formule tvaru ${\displaystyle (\forall x)(\chi (x))}$.

Říkáme, že term t je substituovatelný za proměnnou x do formule ${\displaystyle \varphi }$, jestliže x není volná v žádné podformuli tvaru ${\displaystyle (\forall y)\psi }$, kde proměnná y má výskyt v termu t. Tedy, pokud náš term t obsahuje proměnnou y, která je v místě substituce vázaná, musí tam být i x vázaná.

Je-li x proměnná, t term a ${\displaystyle \varphi }$ formule, ${\displaystyle \varphi (x/t)}$ značí formuli, která vznikne nahrazením (substitucí) termu t za každý volný výskyt proměnné x v ${\displaystyle \varphi }$.

Otevřené formule nemají vázané proměnné, uzavřené formule nemají volné proměnné.