Graf (teorie grafů)

Nejobecněji můžeme neorientovaný graf definovat jako trojici ${\displaystyle G=(V,E,\epsilon )}$, kde ${\displaystyle V}$ je množina vrcholů (někdy také uzlů), ${\displaystyle E}$ je množina hran a zobrazení ${\displaystyle \epsilon :E\to V^{2}}$ určuje incidenci hran. (tj. ${\displaystyle \epsilon (e)=(u,v)}$ znamená, že hrana ${\displaystyle e}$ vede z vrcholu ${\displaystyle u}$ do vrcholu ${\displaystyle v}$.) Tato definice umožňuje existenci paralelních hran (tj. takových hran ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ které mají stejný počáteční i koncový vrchol, tedy ${\displaystyle \epsilon (e_{1})=\epsilon (e_{2})}$.) Pokud v grafu paralelní hrany nejsou, (tj. zobrazení ${\displaystyle \epsilon }$ je prosté), o grafu říkáme, že je prostý. Prosté grafy jsou v aplikacích běžné a tato vlastnost se často implicitně předpokládá a proto se často uvádí rovnou specializovaná definice, kdy graf definujeme jen jako dvojici ${\displaystyle G=(V,E)}$, kde ${\displaystyle E\subseteq V^{2}}$, tedy hrany identifikujeme přímo s dvojicemi vrcholů.

Neorientovaný graf můžeme definovat analogicky, s tím rozdílem, že zobrazení incidence je ${\displaystyle \epsilon :E\to \{\{u,v\}|u,v\in V\}}$. Tedy u hrany nezáleží na pořadí vrcholů. Pro prosté neorientované grafy můžeme opět definici specializovat na ${\displaystyle G=(V,E)}$, kde ${\displaystyle E\subseteq \{\{u,v\}|u,v\in V\}}$. Množina ${\displaystyle E}$ (resp. obor hodnot ${\displaystyle \epsilon }$) je množinou jedno (pokud ${\displaystyle u=v}$) a dvouprvkových množin vrcholů, tzv. (neorientovaných) hran. Jednoprvková množina v tomto případě značí smyčku. V aplikacích můžeme chtít uvažovat jen na grafy bez smyček a tedy se omezit pouze na dvouprvkové množiny odpovídající hranám.

Ekvivalentně můžeme pro neorientovaný graf použít definici pro orientovaný graf a vyžadovat vlastnost, že pro každou dvojici vrcholů ${\displaystyle u,v}$ je počet hran z ${\displaystyle u}$ do ${\displaystyle v}$ stejný jako počet hran z ${\displaystyle v}$ do ${\displaystyle u}$, tedy ${\displaystyle \left|\{e|\epsilon (e)=(u,v)\}\right|=\left|\{e|\epsilon (e)=(v,u)\}\right|}$ respektive pro prosté grafy jednodušeji: ${\displaystyle (u,v)\in E\iff (v,u)\in E}$. Pokud o grafech uvažujeme jako o relacích, neorientované grafy v tomto pojetí odpovídají symetrickým relacím.

• Grafu, který obsahuje smyčky, tj. hrany, které začínají i končí ve stejném vrcholu se někdy říká pseudograf. V aplikacích se běžně smyčky neuvažují.
• Pro definici grafu s paralelními hranami můžeme míst použití zobrazení incidence ${\displaystyle \epsilon }$ ekvivalentně uvažovat o ${\displaystyle E}$ jako o multimnožině. Graf s více hranami mezi týmiž vrcholy se také říká multigraf a paralelním (rovnoběžným) hranám se říká multihrany
• Zobecněním grafu takovým, že hrany nemusí obsahovat právě dva vrcholy, je hypergraf.

Graf je souvislý, pokud mezi každými dvěma vrcholy existuje cesta. V případě orientovaných grafů se mluví o silné souvislosti, pokud mezi každými dvěma vrcholy v obou směrech existuje cesta respektující orientaci.

• Strom
• Cesta
• Kružnice
• Úplný graf
• Bipartitní graf

• „obrázkem“, správně řečeno nakreslením: viz rovinný graf
• maticí sousednosti: je-li |V| = n, pak čtvercová matice sousednosti A je typu ${\displaystyle \{0,1\}^{n\times n}}$ a platí ${\displaystyle {\mathit {A}}_{i,j}=1\Leftrightarrow \{i,j\}\in {\mathit {E}}}$. Pokud je graf neorientovaný, stačí na jeho reprezentaci (horní nebo dolní) trojúhelníková matice.
• maticí vzdálenosti: jsou-li hrany grafu ohodnocené, lze výše uvedenou matici modifikovat tak, že místo jedničky je na daném pozici uvedeno ohodnocení (délka) příslušné hrany
• Laplaceovou maticí: opět čtvercová matice, tentokrát typu ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n\times n}}$, pro niž platí

${\displaystyle ({\mathit {L}}_{G})_{i,j}={\begin{cases}deg(i),&i=j\\-1,&\{i,j\}\in {\mathit {E}}\\0,&i\neq j\;\land \{i,j\}\notin {\mathit {E}}\end{cases}}}$

• maticí incidence: je-li |V| = n a |E| = m, pak matice incidence je typu ${\displaystyle \{-1,0,+1\}^{n\times m}}$ a platí

${\displaystyle ({\mathit {I}}_{G})_{i,e}={\begin{cases}-1,&e=(i,\bullet )\\+1,&e=(\bullet ,i)\\0,&{\mbox{jinak}}\end{cases}}}$

Jinými slovy, každá hrana má 1 u vrcholu kde začíná a -1 u vrcholu kde končí. U neorientovaných grafů je vždy +1 když je hrana v incidenci s vrcholem.

Pro neorientovaný graf: Pro orientovaný graf:

• seznamem sousedů: je-li |V| = n, uspořádáme vrcholy grafu do pole velikosti n a v i-tém prvku tohoto pole bude ukazatel na spojový seznam vrcholů, které s vrcholem i sousedí. Toto uspořádání je vhodné při množství údajů menším než n^2. Tj. při ostře menším počtu hran než n^2, kde n je počet vrcholů. Jedná se o tzv. řídké grafy, kterých je v prostředí sítí nejvíce.

Grafy G a G’ jsou izomorfní právě tehdy, když existuje taková bijekce ${\displaystyle f:V(G)\to V(G')}$, že platí ${\displaystyle \{{\mathit {i,j}}\}\in E(G)\Leftrightarrow \{{\mathit {f(i),f(j)}}\}\in E(G')}$. Tedy zhruba řečeno, G a G' se liší pouze „očíslováním“ svých vrcholů.

Pro některé účely se vrcholy nebo hrany grafu ohodnocují, například reálnými čísly, pomocí ohodnocovací funkce ${\displaystyle w:E\rightarrow \mathbb {R} }$ nebo ${\displaystyle V\rightarrow \mathbb {R} }$.

• Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, nakladatelství Karolinum, Praha 2002, ISBN 80-246-0084-6
• Roman Čada, Tomáš Kaiser, Zdeněk Ryjáček: Diskrétní matematika, Západočeská univerzita v Plzni, Březen 2004, ISBN 80-7082-939-7
• Zdeněk Ryjáček: Pracovní texty přednášek Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 Volně ke stažení, PDF verze
• prof. RNDr. Radim Bělohlávek, DSc.: Algoritmická matematika 2 Volně ke stažení, PDF verze

• Jiří Demel: Grafy a jejich aplikace, nakladatelství Academia, Praha 2002, ISBN 80-200-0990-6